数学竞赛辅导讲座：高斯函数.doc

数学竞赛辅导讲座：高斯函数知识、方法、技能函数，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数是不超过的最大整数，称为的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数由、的定义不难得到如下性质：（1）的定义域为R，值域为Z；的定义域为R，值域为（2）对任意实数，都有.（3）对任意实数，都有.（4）是不减函数，即若则，其图像如图I 451；是以1为周期的周期函数，如图I 452. 图451 图452（5）.其中.（6）；特别地，（7），其中；一般有；特别地，.（8），其中.【证明】（1）（7）略.（8）令，则，因此，.由于，则由（3）知，于是，证毕.取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论.定理一：，且1至x之间的整数中，有个是的倍数.【证明】因，此式说明：不大于x而是n的倍数的正整数只有这个：定理二：在！中，质数