数学奥赛辅导 第四讲 不定方程不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程.不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题.1几类不定方程（1）一次不定方程在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下定理.定理一：二元一次不定方程为整数.有整数解的充分必要条件是. 定理二：若为之一解，则方程全部解为. （t为整数）。（2）沛尔方程形如（，不是完全平方数）的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设为该方程的正整数解中使最小的解，则其的全部正整数解由（）给出. 只要有解，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解.满足的关系：； ， （3）勾股方程这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足的解，此时易知实际上两两互素. 这种两两互素的正整数解称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。容易看出一奇一偶，无妨设为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。定理三：方程满足，的全
