一阶线性偏微分方程.doc

第七章 一阶线性偏微分方程例7-1 求方程组 通积分，其中为互不相等的常数。解 由第一个等式可得 ，即有 ，两边积分得方程组的一个首次积分 。由第二个等式可得 ，即有 ，两边积分得方程组的另一个首次积分 。由于，雅可比矩阵的秩为2，这两个首次积分相互独立，于是原方程组的通积分为 。评注：借助于方程组的首次积分求解方程组的方法称为首次积分法。要得到通积分需要求得个独立的首次积分，为组成方程组的方程个数。用雅可比矩阵的秩来验证首次积分的独立性。 例7-2 求方程组 的通解。解 由原方程组可得 即 这个方程关于变量和是可以分离的，因此易求得它的通积分为 这是原方程组的一个首次积分。 再次利用方程组，得到