第一章 曲线论2 向量函数 5. 向量函数具有固定方向的充要条件是 = 。 分析：一个向量函数一般可以写成=的形式，其中为单位向量函数，为数量函数，那么具有固定方向的充要条件是具有固定方向，即为常向量，（因为的长度固定）。 证 对于向量函数，设为其单位向量，则=，若具有固定方向，则为常向量，那么=，所以 =（）=。反之，若= ，对= 求微商得=+，于是=（）=，则有 = 0 或= 。当= 0时，=可与任意方向平行；当0时，有=，而（=-(，（因为具有固定长， = 0） ，所以 =，即为常向量。所以，具有固定方向。6向量函数平行于固定平面的充要条件是（）=0 。分析：向量函数平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量，使 = 0 ，所以我们要寻求这个向量及与，的关系。证 若平行于一固定平面，设是平面的一个单位法向量，则为常向量，且 = 0 。两次求微商得 = 0 ， = 0 ，即向量，垂直于同一非零向量，因而共面，即（）=0 。反之, 若（）=0，则有= 或。若=，由上题知具有固定方向，
