1、2017/4/11 1创 意 点 亮 未 来范国雄 广东梅县东山中学王勖成王勖成 有限单元法有限单元法 （学习总结）（学习总结） 爱弄 PPT的老范汇报人： XXX时 间： XXX内容提纲一、绪论二、有限元法的理论基础 -加权余量法和变分原理三、弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达式四、单元和插值函数的构造五、等参元与数值积分六、有限元法运用中的若干实际考虑七、线性代数方程组的解法八、有限元分析计算机程序一、绪论l 1.1 有限元法要点： 将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个 子域（单元），并通过他们边界上的节点相互联接成为组合体； 用每个单元内在所假设的近似函数来分片地表示全求解域内
2、待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未知场函数（或及其导数）在单元各结点上的数值和与其对应的插值函数来表达（此表达式为矩阵形式）； 通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场函数结点值）的代数方程组或者场微分方程组。一、绪论l 1.2 有限元法特性： 对于复杂几何构型的适应性（单元在空间可以是一维、二维或三维的，而每一种单元可以有不同形状）； 对各种物理问题的可应用性 (用单元内近似函数分片地表示全求解域的未知场函数，并为限制场函数所满足的方程形式，也为限制各个单元所对应方程必须是相同的形式 )； 建立于严格理论基础上的可靠性 (用于建立
3、有限元方程的变分原理或加权余量法在数学上以证明是微分方程和边界条件的等效积分形式 )； 适合计算机实现的高校性 (有限元分析的各个步骤可以表达成规范的矩阵形式，最后导致求解方程可以统一为标准的矩阵代数问题，特别适合计算机编程和执行 )。一、绪论l 1.3 有限元法的发展和现状： 单元类型和形式：为扩大有限元法的应用领域，新的单元类型不断涌现，例如等参单元采用和位移插值相同的表示方法，将形状规则单元变换为边界为曲线或曲面的单元； 有限元法的理论基础和离散格式：在提出新的单元类型，扩展新的应用领域和应用条件的同时，为了给新单元和新应用提供可靠的理论基础，研究了 Hellinger-Reissner
4、原理、 Hu-Wanshizu原理等多场变量的变分原理，发展了混合型、杂交型的有限元表达格式； 有限元方程的解法：独立于时间的平衡问题（或稳态问题）；特征值问题；依赖于时间的瞬态问题；有限元法的计算机软件（专用软件、大型通用商业软件）一、绪论l 1.4 有限元法的未来： 为了真实地模拟新材料和新结构的行为，需要发展新的材料本构模型和单元形式； 为了分析和模拟各种类型和形式的结构在复杂载荷工况和环境作用下的全寿命过程响应，需要发展新的数值分析方案； 有限元软件和 CAD/CAM/CAE等软件系统共同集成完整的虚拟产品发展（ VPD）系统二、有限元法理论基础 -加权余量法和变分原理l 2.1 微分
5、方程的等效积分形式和加权余量法2.1.1 微分方程的等效积分形式：上式满足微分方程组和边界条件 ：1.1.2 微分方程等效积分的 “弱 ”形式：通过适当提高对任意函数 v的连续性要求，以降低微分方程场函数 u的连续性要求所建立的等效积分形式。二、有限元法理论基础 -加权余量法和变分原理l 2.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法2.1.3 基于等效积分形式的近似方法 加权余量法 ：假设未知函数 u可以采用近似函数表示，近似函数是一族有待定参数的已知函数，一般形式为：通常 n取有限项的近似解不能精确满足微分方程式和边界条件，故产生残差 R，即：把等效积分形式写成余量形式：二、有限元法理论基础
6、-加权余量法和变分原理l 2.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法2.2.3 基于等效积分形式的近似方法 加权余量法：采用使余量的加权积分为零来求微分方程近似解的方法称为 加权余量法 。根据对权函数 W的不同选择可得到不同的加权余量计算方法，常用的方法有： 配点法 ： 子域法 ：在 n个子域内 W=I，在子域意外 W=0。即强迫余量在 n个子域的积分为零。 最小二乘法 ： 使 最小，即 。 力矩法 ：二、有限元法理论基础 -加权余量法和变分原理l 2.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法2.2.3 基于等效积分形式的近似方法 加权余量法： 伽辽金法 ：取 W=N，即简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，等效积分形式：近似解变分为：使加权余量法可以用于广泛的方程类型，选择不同的权函数，可以产生不同的加权余量法；通过采用等效积分的 “弱 ”形式，可以降低对近似函数连续性的要求。如果近似函数取自完全的函数系列，并满足连续性要求，当试探函数的项数不断增加时，近似解可趋于精确解。
