3 线 性相关性的判 别 定理 (1) 线性相关性的几个重要定理 小 结 思 考定理 3 若一向量组的部分向量组线性相关 ,则该向量组也线性相关 .注 : 这个定理的等价说法是 :如果一个向量组线性无关 ,则其中任一个部分向量组也必线性无关 . 也即一向量组部分线性相关 ,则整体必线性相关 ,一向量组整体线性无关 ,则其部分组必线性无关 .定理 4 设 p1,p2, , pn为 1， 2， ， n的一个排列，和 为两向量组，其中 即 是对 各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线性相关性。 证 对任意的常数 k1,k2, ks， 推论 含有零向量的向量组必线性相关上两式 只是各分量的排列顺序不同，因此 当且仅当 所以 和 有相同的线性相关性。 (2)如果 线性无关，那么 也线性无关。 定理 5 在 r维向量组 的各向量添上 n-r个分量变成 n维向量组 。(1)如果 线性相关，那么 也线性相关。 证 对列向量来证明定理。利用 (1)式 ,用反证法容易证明 (2)式也成立。因此 , 也线性相关 ,即 (1)式成立。如果 线性相关 ,就有一个非零的 s1矩阵 X,使 用语言叙述为： 低维无关，则高维无关 ； 高维相关，低维相关 。向量组与矩阵向量组与矩阵线性方程组的向量表示方程组与 增广矩阵 的列向量组之间 一一对应 系数未知数
