1、第 3 讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或” “且” “非”的含 义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定知 识 梳 理1简单的逻辑联结词(1)命题中的且 、或、非叫做逻辑联结词(2)命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断p q p 且 q p 或 q 非 p真 真 真 真 假真 假 假 真 假假 真 假 真 真假 假 假 假 真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题(2)存在量词：短语“存在一个” “至少有一个”
2、在逻辑中通常叫做存在量词，用“”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题3含有一个量词的命题的否定命题 命题的否定xM ，p( x) x 0M ，p(x 0)x 0M ，p( x0) xM ，p(x)诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩 PPT 展示(1)命题 pq 为假命题，则命题 p，q 都是假命题()(2)若命题 p， q 至少有一个是真命题，则 pq 是真命题()(3)已知命题 p：n 0N, 2n01 000，则 p：n 0N ，2n 01 000.()(4)命题“xR，x 20”的否定是“xR，x 20” ()2(2014重庆 卷)已知命题 p：对任意 xR，总有 |
3、x|0；q：x1 是方程 x20 的根则下列命题为真命题的是( )Ap q BpqCpq Dpq解析 由题意知，命题 p 为真命题，命 题 q 为假命题，故 q 为真命题，所以pq 为真命题答案 A3(2014湖南卷 )设命题 p：x R，x 210，则p 为( )Ax 0R， x 1020Bx 0R ，x 2010C x0R ，x 1020Dx R ，x 210解析 “x R，x210”的否定为“x 0 R，x 10” ，故选 B.20答案 B4若命题“x R，ax 2ax20”是真命题，则实数 a 的取值范围是_解析 当 a0 时，不等式显然成立；当 a0 时，由题意知Error!得8a0
4、.综上，8a 0.答案 8,05(人教 A 选修 11P26A3 改编)给出下列命题：xN，x 3x 2；所有可以被 5 整除的整数，末位数字都是 0；x 0R， x x 010；20存在一个四边形，它的对角线互相垂直则以上命题的否定中，真命题的序号为_答案 考点一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断【例 1】 (1)(2014辽宁卷)设 a，b，c 是非零向量已知命题 p：若ab0 ，b c0，则 ac0；命题 q：若 ab，b c，则 ac.则下列命题中真命题是( )Apq BpqC(p )(q) Dp(q)(2)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次设命题 p 是“甲降落在指定范围” ，
5、q 是“乙降落在指定范围” ，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A(p)(q) Bp(q)C(p )(q) Dpq解析 (1)由于 a，b，c 都是非零向量，ab0， ab.bc0，bc .如图， 则可能 ac，ac0，命题 p 是假命题，p 是真命题 命 题 q 中， ab，则 a 与 b 方向相同或相反；bc，则 b 与 c 方向相同或相反故 a 与 c 方向相同或相反，ac，即 q 是真命题，则q 是假命题，故pq 是真命题 ，pq，(p)(q)，p(q)都是假命题(2)命题“至少有一位学 员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围” “甲
6、降落在指定范围，乙没有降落在指定范围” “乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围” 选 A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“pq”的否定 选 A.答案 (1)A (2)A规律方法 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”一真即真， “且”一假即假，“非”真假相反，做出判断即可【训练 1】 (1)若命题 p：函数 yx 22x 的单调递增区间是 1，)，命题 q：函数 yx 的单调递增区间是 1，)，则 ( )1xApq 是真命题 Bpq 是假命题 Cp 是真命题 Dq 是真命题
7、(2)“pq”为真命题是 “pq”为真命题的_条件解析 (1)因为 函数 yx 22x 的单调递增区间是1，) ，所以 p 是真命题 ；因为函数 y x 的单调递 增区间(， 0)和1x(0，) ，所以 q 是假命题 所以 pq 为假命题， pq 为真命题，p 为假命题，q 为真命题，故选 D. (2)若命题“pq”为真命题，则 p，q 中至少有一个为真命题若命题“pq” 为真命题， 则 p，q 都为真命题，因此“ pq”为真命题是“pq”为真命题的必要不充分条件答案 (1)D (2)必要不充分考点二 全(特) 称命题的否定及其真假判定【例 2】 (1)(2014安徽卷 )命题“xR，|x|
8、x 2 0”的否定是( )AxR， |x|x 20BxR ，|x|x 20C x0R ，|x 0|x 020Dx 0R ，|x 0|x 020(2)(2014沈阳质量监测)下列命题中，真命题的是 ( )AxR， x20BxR ，1sin x 1深度思考 常常借助集合的“并、交、补”的意义来理解由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题，你清楚吗？C x0R,2 x00 Dx 0R ，tan x02解析 (1)全称命 题的否定是特称命题，即命题“x R，|x|x 20”的否定为“x 0R，|x0|x 0” 故选 C.(2)x R，x2 0，故 A 错；x R，1sin 20x1，故 B 错 ；xR
9、,2 x0，故 C 错，故选 D.答案 (1)C (2)D规律方法 (1)对全(特)称命 题进行否定的方法有：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定； 对原命题的结论进行否定(2) 判定全称命题“x M，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中的每个元素 x，证明 p(x)成立；要判断特称命 题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个xx 0，使 p(x0)成立【训练 2】 命题“存在实数 x，使 x1”的否定是 ( )A对任意实数 x，都有 x1B不存在实数 x，使 x1C对任意实数 x，都有 x1D存在实数 x，使 x1解析 “存在实数 x，使 x1”的否定是“对
10、任意实数 x，都有 x1” 故选 C.答案 C考点三 与逻辑联结词、全(特) 称命题有关的参数问题【例 3】 已知 p：xR，mx 210，q：xR，x 2mx 10，若pq 为假命题，则实数 m 的取值范围是( )A2， ) B(，2C(，22 ，) D2,2解析 依题意知，p，q 均为假命题当 p 是假命题时 ，mx210 恒成立，则有 m0；当 q 是假命题时， 则有 m 240， m2 或 m2.因此由 p，q 均为假命题得Error! 即 m2.答案 A规律方法 以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“pq” “pq”“p”形式命题的真假，列出含有
11、参数的不等式(组 )求解即可【训练 3】 已知命题 p：“x 0,1，ae x”；命题 q：“xR，使得x24xa0” 若命题“ pq”是真命题，则实数 a 的取值范围是_解析 若命题“pq”是真命题，那么命题 p，q 都是真命题由x 0,1，ae x，得 ae ；由xR，使 x24x a0，知 164a0， a4，因此ea4.答案 e,4微型专题 利用逻辑关系判断命题真假2014 年高考试题新课标全国卷中考查了一道实际问题的逻辑推理题，这也是今后高考命题的新趋向，大家应加以重视，解决问题的关键是弄清实际问题的含义，结合数学的逻辑关系进行转化【例 4 (1)(2014新课标全国卷)甲、乙、丙三
12、位同学被问到是否去过A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第_名点拨 找出符合命题的形式，根据逻辑分析去判断真假解析 (1)由题 意可推断：甲没去过 B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市” ，说明甲去 过 A，C 城市，而乙“没去过 C 城市” ，说
13、明乙去过城市 A，由此可知，乙去 过的城市为 A.(2)由上可知：甲、乙、丙均 为“p 且 q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题” ，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名答案 (1)A (2) 一点评 在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或” “且” “非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题.思想方法1把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或” 、 “且” 、“非”字眼，要结合语句的含义理解2含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：pq见真即真，pq见假即假，p 与 p 真假相反3要写一个命题的否
14、定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论” 易错防范1命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非 p”，只是否定命题 p 的结论2命题的否定包括：(1)对“若 p，则 q”形式命题的否定；(2)对含有逻辑联结词命题的否定；(3)对全称命题和特称命题的否定，要特别注意下表中常见词语的否定.词语 词语的否定等于 不等于大于 不大于 (或小于等于)小于 不小于 (或大于等于)是 不是一定是 不一定是都是 不都是(至少有一个不是)必有一个 一个也没有任意的
15、某一个且 或或 且至多有一个 至少有两个基础巩固题组(建议用时：30 分钟)一、选择题1(2014湖北卷 )命题“x R，x 2x”的否定是 ( )AxR， x2xBxR ，x 2xC xR，x 2xDx R ，x 2x解析 原命题的否定为“x R，x2x ”答案 D2(2014天津卷 )已知命题 p：x 0，总有(x1)e x1，则p 为( )Ax 0 0，使得 (x01)e x01B x0 0，使得( x01)e x01C x0，总有( x1)e x1Dx0，总有 (x1)e x1解析 命题 p 为全称命题，所以p：x 0 0，使得(x 01)e x01.答案 B3(2015海淀区模 拟)
16、已知命题 p：x R，x 2x10，则p 为( )AxR， x2x10BxR ，x 2x10C xR，x 2x 10Dx R，x 2x10解析 含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即 p：x R，x2x10.答案 B4已知命题 p：所有有理数都是实数；命题 q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )Apq BpqCpq Dpq解析 不难判断命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，从而上面叙述中只有pq 为真命题答案 D5(2014湖北七市 (州)联 考)已知命题 p：xR，cos x ；命题54q：xR， x2x10，则下列结论正确的是( )A命题 p
17、q 是假命题B命题 pq 是真命题C命题 (p)(q)是真命题D命题(p)(q) 是真命题解析 易判断 p 为假命题，q 为真命题，从而只有 选项 D 正确答案 D6下列命题中的假命题是( )Ax 0R， lg x00 Bx 0R ，tan x0 3C xR ，x 30 Dx R, 2x0解析 当 x 1 时，lg x0，故命题“x 0R，lg x00”是真命题；当 x 时，3tan x ，故命题“x 0R，tan x0 ”是真命题 ；由于 x1 时，x 30，故命3 3题“xR，x 30”是假命 题；根据指数函数的性质，对x R,2x0，故命题“xR,2 x 0”是真命题 答案 C7设命题
18、p：函数 ysin 2x 的最小正周期为 ；命题 q：函数 ycos x 的2图象关于直线 x 对称则下列判断正确的是 ( )2Ap 为真 Bq 为假Cp q 为假 Dpq 为真解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有 C 正确答案 C8(2015武汉调 研测试)已知命题 p： R，使 f(x)sin(x)为偶函数；命题 q：x R，cos 2x 4sin x30，则下列命题中为真命题的是 ( )Apq B(p)qCp (q) D(p)(q)解析 利用排除法求解 ，使 f(x)sin(x)sin cos x 是偶2 (x 2)函数，所以 p 是真命题， p 是假命题；x ，使 cos 2x4sin 2x31 430，所以 q 是假命题， q 是真命 题所以 pq，(p)q，(p)(q)都是假命题，排除 A，B，D，p(q)是真命题，故选 C.答案 C二、填空题9(2014合肥 质量检测)命题 p：x 0，都有 x310，则 p 是_答案 x 0 0，有 x 1 0.3010命题“x 0 ， tan x0sin x 0”的否定是_(0，2)答案 x ，tan xsin x(0，2)11若命题 p：关于 x 的不等式 axb0 的解集是 x|x ，命题 q：关ba
