1、第五章 量子力学的表象变换与矩阵形式1. 量子态的不同表象， 幺正变换2. 力学量的矩阵表示3. 力学量的表象变换5.1.1 坐标表象通过坐标变换 ,以引进量子力学中的 表象及表象变换 的概念 .表象 : 量子力学中的 态和力学量的具体表示方式称为 表象 .x1x2x1x2A1A1A2A2Ae1e2e1e2O平面坐标系 x1和 x2的基矢 e1和 e2， 长度为 1，彼此正交，即（ 1）平面上的任何一个 矢量 都可用它们来展开 , （ 2）A1和 A2表示矢量 A在两个分量坐标上的投影。5.1量子态的不同表象， 幺正变换假设另一个 x1x2直角坐标系，由 原来的坐标系顺时针旋转角 ,其基矢为
2、e1e2, 满足（ 1）在此坐标中，矢量 A表示成（ 2）（ 3）对上式分别用 e1, e2点乘（ 4）写成矩阵的形式（ 5）R（ ） 称为 变换矩阵元 ，是两个坐标系基矢之间的标积。当R确定后，任何两个坐标系之间的关系也就确定了。其转置矩阵表示为（ 6）x1x2x1x2A1A1A2A2Ae1e2e1e2O变换矩阵 R与其转置矩阵之间的关系为因为 R =R，（ 7）5.1.2 Representation Theory (表象理论 )一个粒子的态完全可由归一化的波函数 (r,t)来描述， 将 (r,t)称为 坐标表象 。下面将讨论用动量为 变量 描述波函数。 将 (r,t) 还可表示成在整个动
3、量空间积分。 c(p,t)为展开系数， p(r )是动量的本征函数。 （ 11）（ 12）显然， c(p,t)描述的粒子态与 (r,t)描述的粒子态同样完整。 已知 c(p,t)， 就可以求出 (r,t)， 反之也一样。即 c(p,t)和 (r,t)描述的是粒子态同一个状态。因此，将 c(p,t)称为粒子态的 动量表象。 如果已知 (r,t) 就可以通过上式得到 c(p,t)， 反过来也成立 。（ 13）（ 14）那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为其它观测量的平均值类似可表示出。如果 (x,t)描述的状态是动量 p的自由粒子的状态在动量表象中，具有 确定动量 p 的粒子波函数是 函数。例题：一维粒子运动的状态是解：由于波函数为归一化，首先要对波函数进行归一化求 1）粒子动量的几率分布；2）粒子的平均动量
