第五章矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义1：设为n阶矩阵，是一个数，如果存在非零n维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对应特征向量的计算方法。设是n阶矩阵，如果是的特征值，是的属于的特征向量，则因为是非零向量，这说明是齐次线性方程组的非零解，而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵的行列式等于零，即0而属于的特征向量就是齐次线性方程组的非零解。定理1：设是n阶矩阵，则是的特征值，是的属于的特征向量的充分必要条件是是0的根，是齐次线性方程组的非零解。定义2：称矩阵称为的特征矩阵，它的行列式称为的特征多项式，0称为的特征方程，其根为矩阵的特征值。由定理1可归纳出求矩阵的特征值及特征向量的步骤：（1）计算；（2）求0的全部根，它们就是的全部特征值；（3）对于矩阵的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系：，其中为矩阵的秩；则矩阵的属于的全部特征向量为：其中为不全为零的常数。例
