矩阵的特征值与特征向量.doc

5.1矩阵的特征值与特征向量(一) 矩阵的特征值定义5.1 设 为 阶矩阵， 是一个数，如果方程 （5.1）存在非零解向量，则称 为 的一个特征值，相应非零解向量 称为与特征值 对应的特征向量.将（5.1）式改写为 （5.2）即 元齐次线性方程组 （5.3）此方程组存在非零解的充分必要条件为系数行列式等于零，即 定义5.2设 为 阶矩阵，含有未知量 的矩阵 称为 的特征矩阵，其行列式 为 的 次多项式，称为 的特征多项式， 称为 的特征方程. 是矩阵 的一个特征值，则一定是 的根，因此又称特征根.若 是 的 重根，则 称为 的 重特征值（根）.方程 的第一个非零解向量，都是相应于 的特征向量.例1求矩阵 的特征值与特征向量.解：矩阵 的特征方程为 化简得 所以 是矩阵 的两个不同的特征值.以 代入与特征方程对应的齐次线性方程组（5.3），得 它的基