1、 1 / 8一、填空题：（每空格 2 分，共 16 分）1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、 无界解 和无可行解四种。2、在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为 4，则说明 如果在该空格中增加一个运量运费将增加 4 。3、 “如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解” ，这句话对还是错？ 错 4、如果某一整数规划：MaxZ=X1+X2X1+9/14X251/14-2X1+X21/3X1,X20 且均为整数所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为 X1=3/2，X 2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对 X1进行分枝，应该分为 X11 和 X12
2、 。5、在用逆向解法求动态规划时，f k(sk)的含义是： 从第 k 个阶段到第 n 个阶段的最优解 。6. 假设某线性规划的可行解的集合为 D，而其所对应的整数规划的可行解集合为 B，那么 D 和 B 的关系为 D 包含 B 7. 已知下表是制订生产计划问题的一张 LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“”型不等式）其中 X3,X4,X5 为松驰变量。XB b X1 X2 X3 X4 X5X4 3 0 0 -2 1 3X1 4/3 1 0 -1/3 0 2/3X2 1 0 1 0 0 -1Cj-Zj 0 0 -5 0 -23问：（1）写出 B-1= 13/2./(2)对偶问题的最优解：
3、 Y（5，0，23，0，0） T 8. 线性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有_某一个非基变量的检验数为 0_；9. 极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题_ 无解_；10. 若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设 Xi=bi不符合整数要求，INT（b i）是不超过 bi的最大整数，则构造两个约束条件：XiINT（b i）1 和 XiINT（b i） ，分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两个后继问题。11. 知下表是制订生产计划问题的一张 LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“”型不等式）其中 X4,X5,X6 为松驰变量。XB b X1
4、X2 X3 X4 X5 X6X1 2 1 1 0 2 0 1X3 2/3 0 0 1 1 0 4X5 1 0 -2 0 1 1 6Cj-Zj 0 0 0 -4 0 -92 / 8问：(1)对偶问题的最优解： Y(4,0,9,0,0,0) T （2）写出 B-1=61402二、计算题（60 分）1、已知线性规划（20 分）MaxZ=3X1+4X2X1+X252X1+4X2123X1+2X28X1,X20其最优解为：基变量 X1 X2 X3 X4 X5X3 3/2 0 0 1 -1/8 -1/4X2 5/2 0 1 0 3/8 -1/4X1 1 1 0 0 -1/4 1/2j 0 0 0 -3/4
5、 -1/21）写出该线性规划的对偶问题。2）若 C2从 4 变成 5，最优解是否会发生改变，为什么？3）若 b2的量从 12 上升到 15，最优解是否会发生变化，为什么？4）如果增加一种产品 X6，其 P6=(2,3,1)T，C 6=4 该产品是否应该投产？为什么？解：1)对偶问题为Minw=5y1+12y2+8y3y1+2y2+3y33y1+4y2+2y34y1,y202)当 C2从 4 变成 5 时， 4=-9/8 5=-1/4由于非基变量的检验数仍然都是小于 0 的，所以最优解不变。3）当若 b2的量从 12 上升到 15X9/829/81/4由于基变量的值仍然都是大于 0 的，所以最优
6、解的基变量不会发生变化。4）如果增加一种新的产品，则P6=(11/8,7/8，1/4) T 6=3/80所以对最优解有影响,该种产品应该生产3 / 82、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。 （共 15 分） 。销地产地B1 B2 B3 产量A1 5 9 2 15A2 3 1 7 11A3 6 2 8 20销量 18 12 16解：初始解为计算检验数由于存在非基变量的检验数小于 0，所以不是最优解，需调整调整为：重新计算检验数所有的检验数都大于等于 0，所以得到最优解3、某公司要把 4 个有关能源工程项目承包给 4 个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一
7、个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表 2 所示： B1 B2 B3 产量/tA1 15 15A2 11 11A3 18 1 1 20销量/t 18 12 16B1 B2 B3 产量/tA1 5 13 0 15A2 2 0 0 11A3 0 0 0 20销量/t 18 12 16B1 B2 B3 产量/tA1 15 15A2 11 11A3 7 12 1 20销量/t 18 12 16B1 B2 B3 产量/tA1 5 13 0 15A2 0 2 2 11A3 0 0 0 20销量/t 18 12 164 / 8（15 分） 项目投标者A B
8、 C D甲 15 18 21 24乙 19 23 22 18丙 26 17 16 19丁 19 21 23 17答最优解为：X= 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 总费用为 504. 考虑如下线性规划问题（24 分）Max z=-5x1+5x2+13x3s.t. -x1+x2+3x32012x1+4x2+10x390x1，x 2， x 30回答以下问题：1）求最优解2）求对偶问题的最优解3）当 b1由 20 变为 45，最优解是否发生变化。4）求新解增加一个变量 x6，c 6=10，a 16=3，a 26=5，对最优解是否有影响5）c 2有 5 变为 6，是否影响
9、最优解。答：最优解为1)Cj -5 5 13 0 0 CB XB b X1 X2 X3 X4 X50 X4 20 -1 1 3 1 0 20/30 X5 90 12 4 10 0 1 9Cj-Zj -5 5 13 0 013 X3 20/3 -1/3 1/3 1 1/3 0 200 X5 70/3 46/3 22/3 0 -10/3 1 70/22Cj-Zj -2/3 2/3 0 -13/3 013 X3 185/33 -34/33 0 1 2/11 -1/225 X2 35/11 23/11 1 0 -5/11 3/22-68/33 0 0 -1/11 -1/11最优解为 X1=185/33
10、, X3=35/112)对偶问题最优解为Y（1/22,1/11,68/33,0,0） T3)当 b1=45 时X= 45/11-11/905 / 8由于 X2的值小于 0，所以最优解将发生变化4）P 6=(3/11,-3/4)T 6=217/200所以对最优解有影响。5）当 C2=6 1=-137/33 4=4/11 5=-17/22由于 4大于 0 所以对最优解有影响5. 求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的数字是（c ij , fij ） 。 （15 分）V1(5,0) (3,3)(3,3)VS （4,1） V 2(4,0)(9,3) (8,4)V3 Vt(6,0)最大流为
11、：14V1(5,3) (3,3)(3,0)V2Vs (4,4)(4,1)(9,7) (8,8)VtV3 (6,6)6. 考虑如下线性规划问题（20 分）Max z=3x1+x2+4x3s.t. 6x1+3x2+5x393x1+4x2+5x38x1，x 2， x 30回答以下问题：1）求最优解；2）直接写出上述问题的对偶问题及其最优解；3）若问题中 x2列的系数变为（3，2） T，问最优解是否有变化；4）c 2由 1 变为 2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。Cj 3 1 4 0 0CB XB b X1 X2 X3 X4 X56 / 80 X4 9 6 3 5 1 00 X5 8 3 4
12、 5 0 1Cj-Zj 3 1 4 0 00 X4 1 3 -1 0 1 -14 X3 8/5 3/5 4/5 1 0 1/5Cj-Zj 3/5 -11/5 0 0 -4/53 X1 1/3 1 -1/3 0 1/3 -1/34 X3 7/5 0 1 1 -1/5 2/5Cj-Zj 0 -2 0 -1/5 -3/5最优解为 X1=1/3,X3=7/5,Z=33/52)对偶问题为Minw=9y1+8y26y1+3y233y1+4y215y1+5y24y1,y20对偶问题最优解为 y1=1/5,y2=3/53) 若问题中 x2列的系数变为（3，2） T则 P2=(1/3,1/5)T 2=-4/50
13、所以对最优解没有影响4）c 2由 1 变为 2 2=-10所以对最优解没有影响7. 求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的数字是（c ij , fij ） 。 （10 分）V1 (4,4 ) V3(9,5) (6,3)VS (3,1) (3,0) (4,1) Vt(5,3) (7,5)V2 (5,4) V4解：V1 (4,4) V3(9,7) (6,4)(3,2) (4,0)Vs Vt(5,4) (7,7)V2 (5,5) V4最大流117 / 88. 某厂、三种产品分别经过 A、B、C 三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表
14、： 设备能力(台.h)ABC1 1 110 4 52 2 6100600300单位产品利润(元) 10 6 41)建立线性规划模型，求获利最大的产品生产计划。(15 分)2)产品每件的利润到多大时才值得安排生产？如产品每件利润增加到 50/6 元，求最优计划的变化。(4 分)3)产品的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变。(2 分)4)设备 A 的能力在什么范围内变化时，最优基变量不变。(3 分)5)如有一种新产品，加工一件需设备 A、B、C 的台时各为 1、4、3h，预期每件为 8 元，是否值得生产。(3 分)6)如合同规定该厂至少生产 10 件产品，试确定最优计划的变化。(3 分)解
15、：1）建立线性规划模型为：MaxZ=10x1+6x2+4x3x1+x2+x310010x1+4x2+5x36002x1+2x2+6x3300xj0,j=1,2,3获利最大的产品生产计划为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(100/3,200/3,0,0,0,100) Z*=2200/32）产品每件利润到 20/3 才值得生产。如果产品每件利润增加到 50/6 元，最优计划的变化为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(175/6,275/6,25,0,0,0) Z*=7753）产品的利润在6,15变化时，原最优计划保持不变。4）设备 A 的能力在60,150变化时，最优
16、基变量不变。5）新产品值得生产。6）最优计划的变化为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(190/6,350/6,10,0,0,60 ) Z*=706.79. 给出成性规划问题：(15 分)Min z=2x1+3x2+6x3x1+2x2+x32-2x1+x2+3x3-3xj0 j=1,，4要求：(1)写出其对偶问题。(5 分)(2)利用图解法求解对偶问题。(5 分)(3)利用(2)的结果，根据对偶问题性质写出原问题最优解。(5 分)解：1）该问题的 LD 为：MaxW=2y1-3y2y1-2y228 / 82y1+y23y1+3y26y10,y202)用图解法求得 LD 的最优解为
17、：Y*=(y1,y2)=(8/5,-1/5) W*=19/53)由互补松弛定理：原问题的最优解为：X*=(x1,x2,x3)=(8/5,1/5,0)10. 某部门有 3 个生产同类产品的工厂(产地)，生产的产品由 4 个销售点(销地)出售，各工厂的生产量，各销售点的销售量(单位.t)以及各工厂到各销售点的单位运价(元/t)示于下表中，要求研究产品如何调运才能使总运量最小？(10 分)B1 B2 B3 B4 产量A1 4 12 4 11 32A2 2 10 3 9 20A3 8 5 11 6 44销量 16 28 28 24 9696解：最优调运方案为：A1-B3 和 B4 28t 和 4tA2-B1 和 B4 16t 和 4tA3-B2 和 B4 28t 和 16t最小总运费为：460 元11. 求解下列 0-1 规划问题maxz=3x1+2x2-5x3-2x4+3x5x1+x2+x3+2x4+x547x1+3x3-4x4+3x5811x1-6x2+3x4-3x53xj=0 或 1 (j=1,，5)解：最优解为：x1=x2=1，其他为 0 ，最优目标函数值为 5销产
