1、信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第 3-1页 电子教案 第三章 离散系统的时域分析3.1 LTI离散系统的响应一、差分与差分方程二、差分方程 的经典解三、 零 输入响应和零状态响应3.2 单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应二、 阶跃响应3.3 卷积和一、序列分解与卷积和二、 卷积的图解三、不进位乘法四、卷积和的性质点击目录 ，进入相关章节信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第 3-2页 电子教案 第三章 离散系统的时域分析3.1 LTI离散系统的响应一、差分与差分方程设有序列 f(k)， 则 ， f(k+2)， f(k+1)， ， f(k-1)，f(k-2) 等称为 f
2、(k)的 移位序列 。仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的 差分 运算。 1. 差分运算离散信号的变化率有两种表示形式：信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第 3-3页 电子教案 3.1 LTI离散系统的响应（ 1） 一阶前向差分定义 ： f(k) = f(k+1) f(k)（ 2） 一阶后向差分定义 ： f(k) = f(k) f(k 1)式中， 和 称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为 差分 。（ 3） 差分的线性性质 ： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) （ 4） 二阶差分定义 ：2f(k) = f(k) = f(k) f(
3、k-1) = f(k) f(k-1)= f(k)f(k-1) f(k-1) f(k-2)= f(k) 2 f(k-1) +f(k-2)（ 5） m阶差分 :mf(k) = f(k) + b1f(k-1) + bmf(k-m)因此，可定义：信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第 3-4页 电子教案 3.1 LTI离散系统的响应2. 差分方程包含未知序列 y(k)及其各阶差分的方程式称为 差分方程 。将 差分 展开为 移位序列 ，得一般形式y(k) + an-1y(k-1) + a 0y(k-n) = bmf(k)+ b 0f(k-m)差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，
4、利用迭代法可求得其数值解。例 ：若描述某系统的差分方程为y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)已知初始条件 y(0)=0,y(1)=2,激励 f(k)=2k(k),求 y(k)。解 ： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k)y(2)= 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 一般不易得到解析形式的 (闭合 )解。 信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第 3-5页 电子教案 3.1 LTI离散系统的响应二、差分方程的经典解y(k) + an-1y(k-1) + a 0y(k-n)
5、= bmf(k)+ b 0f(k-m)与微分方程经典解类似， y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齐次解 yh(k) 齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a 0y(k-n) = 0其 特征方程 为 1 + an-1 1 + + a 0 n = 0 ， 即 n + an-1n 1 + + a 0 = 0其根 i( i = 1， 2， ， n)称为差分方程的 特征根 。齐次解的形式取决于特征根 。当特征根 为 单根 时，齐次解 yn(k)形式为： Ck当特征根 为 r重根 时，齐次解 yn(k)形式为：(Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+ C 1k+C0)k 信号
6、与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第 3-6页 电子教案 3.1 LTI离散系统的响应2. 特解 yp(k): 特解的形式与激励的形式雷同 (r1） 。 （ 1） 激励 f(k)=km (m0） 所有特征根均不等于 1时 ; yp(k)=Pmkm+P 1k+P0 有 r重等于 1的特征根时 ; yp(k)=krPmkm+P 1k+P0 （ 2） 激励 f(k)=ak 当 a不等于特征根时 ; yp(k)=Pak 当 a是 r重特征根时 ;yp(k)=（ Prkr+Pr-1kr-1+P 1k+P0)ak（ 3） 激励 f(k)=cos(k)或 sin(k) 且 所有特征根均不等于 ej ；
7、 yp(k)=Pcos(k)+Qsin(k) 信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第 3-7页 电子教案例 ： 若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k)已知初始条件 y(0)=0， y(1)= 1； 激励 f(k)=2k， k0。求方程的全解。 解 ： 特征方程为 2 + 4+ 4=0 可解得特征根 1=2= 2， 其齐次解yh(k)=(C1k +C2) ( 2)k特解为 yp(k)=P (2)k , k0代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2= f(k) = 2k ，解得 P=1/4所以得特解： yp(k)=2k2
8、, k0故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) ( 2)k + 2k2 , k0 代入初始条件解得 C1=1 , C2= 1/4 3.1 LTI离散系统的响应信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第 3-8页 电子教案 3.1 LTI离散系统的响应三、零输入响应和零状态响应y(k) = yx(k) + yf(k) , 也可以 分别 用经典法求解。y(j) = yx(j) + yf(j) , j = 0, 1 , 2, , n 1设 激励 f(k)在 k=0时接入系统 ，通常以 y(1), y(2) , ， y(n)描述系统的 初始状态 。yf(1) = yf(2) =
9、= yf(n) = 0所以 y(1)= yx(1) , y(2)= yx(2), ， y(n)= yx(n) 然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值 yx(j)和 yf(j) ( j = 0, 1, 2 , ， n 1)信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第 3-9页 电子教案 3.1 LTI离散系统的响应例 ：若描述某离散系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)已知激励 f(k)=2k , k0， 初始状态 y(1)=0, y(2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解 ：（ 1） yx(k)满足方程 yx(k)
10、+ 3yx(k 1)+ 2yx(k 2)= 0其初始状态 yx(1)= y(1)= 0, yx(2) = y(2) = 1/2首先递推求出初始值 yx(0), yx(1), yx(k)= 3yx(k 1) 2yx(k 2)yx(0)= 3yx(1) 2yx(2)= 1 , yx(1)= 3yx(0) 2yx(1)=3方程的特征根为 1= 1 ， 2= 2 ，其解为 yx(k)=Cx1( 1)k+Cx2(2)k 将初始值代入 并解得 Cx1=1 , Cx2= 2所以 yx(k)=( 1)k 2( 2)k , k0信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第 3-10页 电子教案 3.1 LTI
11、离散系统的响应yf(k) + 3yf(k 1) + 2yf(k 2) = f(k) 初始状态 yf(1)= yf(2) = 0递推求初始值 yf(0), yf(1)，yf(k) = 3yf(k 1) 2yf(k 2) + 2k , k0yf(0) = 3yf(1) 2yf(2) + 1 = 1yf(1) = 3yf(0) 2yf(1) + 2 = 1分别求出齐次解和特解 ，得yf(k) = Cf1(1)k + Cf2(2)k + yp(k)= Cf1( 1)k + Cf2( 2)k + (1/3)2k代入初始值 求得 Cf1= 1/3 , Cf2=1 所以 yf(k)= ( 1)k/3+ ( 2)k + (1/3)2k , k0 （ 2） 零状态响应 yf(k) 满足
