1、西安交通大学 Xian Jiaotong University1.飞行管理问题数学与统计学院赫孝良西安交通大学在约 1万米高空的某边长为 160公里的正方形区域内 ,经常有若干架飞机作水平飞行 ,区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据 ,以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时 ,记录其数据后 ,要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞 ,如果会碰撞 ,则应计算如何调整每架 (包括新进入的 )飞机飞行的方向角 ,以避免碰撞。现假定条件如下 :(1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8公里 ;(2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30度 ;(3) 所有飞
2、机飞行速度均为每小时 800公里 ;(4) 进入该区域的飞机在到达区域边缘时与区域内飞机的距离应在 60公里以上 ;(5) 最多需考虑 6架飞机 ;(6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况。西安交通大学请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型 ,列出计算步骤 ,要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。并对以下数据进行计算 (方向角误差不超过 0.01度 ).飞机编号 横坐标 X 纵坐标 Y 方向角 (度)1 150 140 2432 85 85 2363 150 155 220.54 145 50 1595 130 150 230新进入 0 0 52西安交通大学1.问题分析目的：不碰撞。手段：调
3、整飞行方向角。要求：调整的幅度尽量小。求解思路：(1) 找出不碰撞的条件。(2)求调整幅度的极小值。建立优化模型。西安交通大学题目的条件(1) 飞机在正方形区域内水平飞行。(2) 飞机不碰撞的标准为二者距离大于 8公里 。根据 (1)可将飞机飞行的空域视为二维平面 xoy中的一个正方形区域 ,顶点为 (0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。根据 (2)可将每架飞机视为一个以飞机坐标点为圆心、以 4公里为半径的圆状物体。 每架飞机在空域中的状态由圆心的位置矢量和飞行速度矢量确定。 这样两架飞机是否碰撞就化为两圆在运行过程中是否相交的问题。两圆是否相交只要讨论它们的相对运动
4、即可。 西安交通大学2.模型假设(1) 飞机进入区域边缘时 ,立即作出计算 ,每架飞机按照计算后的指示立即作方向角改变 ;(2) 每架飞机在整个过程中至多改变一次方向 ;(3) 忽略飞机转向的影响 (转弯半径和转弯时间的影响 );(4) 新飞机进入空域时 ,已在空域内部飞行的飞机的飞行方向已调合适 ,不会碰撞 ;(5) 对每架飞机方向角的相同调整量的满意程度是一样的。西安交通大学3.模型的建立(1) 圆状模型由前面的分析将飞机作为圆状模型进行研究。两圆不相交 ,则表明不会发生碰撞事故 ;若两圆相交 ,则表明会发生碰撞事故。为了研究两飞机相撞问题 ,采用相对速度作为研究对象 ,因为飞机是否相撞的
5、关键是相对速度。西安交通大学下图给出任意两架飞机间的关系。西安交通大学图中符号含义如下 :i,j 第 i、第 j架飞机的圆心 ;aij 第 i架飞机与第 j架飞机的碰撞角 ,是两圆的切线交角中指向圆的那个角的一半 ;vij 第 i架飞机相对于第 j架飞机的相对飞行速度 ;lij 第 i架飞机与第 j架飞机的圆心距 ;ij 第 i架飞机对于第 j架飞机的相对速度与两架飞机圆心连线的交角。规定以第 i架飞机为原点 ,ij连线从 i指向 j为正方向 ,逆时针旋转为正角 ,顺时针旋转为负角 ;AB、 CD为两圆的公切线 , mi/AB, nj/CD 西安交通大学另外再引入记号 :i 第 i架飞机的飞行方向与直角坐标 xoy中 x轴正向的夹角 (转角 );xi 第 i架飞机在坐标 xoy中的位置矢量 ;vi 第 i架飞机的飞行速度矢量。由图得到两飞机不相撞 (两圆不相交 )的充要条件是 |ij|aij.当 |ij| aij时 ,则通过调整两飞机的方向角 i与 i,使飞机不相撞。
