1、题题 目目v 在约 10000m高空的某边长 160km的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假设条件如下：假设条件假设条件(1)不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8km；(2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30；(3)所有飞机飞行速度均为 800km/h；(4)进入该区域的飞机在达到区域边缘时，与区域内飞机的距离应在 60km以上；
2、(5)最多需考虑 6架飞机；(6)不必考虑飞机离开此区域后的状况。问问 题题v 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过 0.01）飞机位置、飞行方向数据飞机位置、飞行方向数据v 设该区域 4个顶点的坐标为(0,0)， (160,0)， (160,160)，(0,160)。记录数据如表所示：飞机编号 横坐标 X 纵坐标 Y 方向角 ()1 150 140 2432 85 85 2363 150 155 220.54 145 50 1595 130 150 230新进入 0 0 52VIIIIIIIVIV160km160km飞行位置示意图这
3、表面上是一个有 6个控制对象的最优控制问题，控制方案太多，似乎很难寻优。但仔细分析这并不是空间优化问题，只考虑10000米高空的面包片；因而是 平面 问题。而实际上对每架飞机而言是 一维 问题，因为只有旋转角度问题，故有可能简化。这个有六个控制对象的最优控制问题可以利用 平面几何的知识 证明两个简单结论 ,从而转化为非线性 优化 问题。早调整一定优于晚调整。这样第六架飞机刚进入正方形时就调整，由于时刻确定，问题就简化为优化问题。结论一 ：AFDBE C 证 ：飞机处于 A，飞行方向 AB，到达 B会与另一架飞机相撞，至少调整到 AC才可能避免相撞。若飞行至 D再调整，仍需飞向 C才可能避免相撞，幅度为 BDF BAC，实际幅度为 EDB BDF。因此早调整一定优于晚调整。一次调整到位，优于多次调整。结论二 ：证 ：分两次调整，幅度 BAD+ ODC BAO+ DAC= BAC。进一步可以用数学归纳法证明一次调整到位优于多次调整。AFDOE CB这样原问题的调整时刻确定，无须考虑时间因素，问题转化为一般优化问题。
