1、2009年西安市高中三年级第三次质量检测试题数学（理）说明：本试题分第 I卷（选择题）第卷（非选择题）两部分。本试题满分为 150分，考试时间为 120分钟。本题（卷）共 4页。12 页选择题，34 页为非选择题。请考生务必在答题卡上答题，考试结束后，监考老师只收答题卡。参考公式：如果事件 、 互斥，那么AB()()PABP如果事件 、 互相独立，那么 (B如果事件 在一次实验中发生的概率是 ，那么 次独立重复实验中恰好发生 次概率nk。()(1)knknnPC正棱锥、圆锥的侧面积公式 锥侧S12cl其中 表示底面周长， 表示斜高或母线长cl球的体积公式 其中 表示球的半径34VR球第 I卷（
2、选择题 共 60分）一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1定义集合 ， 之间的 运算为： ，若AB|log,xABzyAB，则集合 中的元素个数是,231,A4 B5 C6 D92已知复数 则 =,zizA B C D1i1i1i1i3已知数列 为等差数列，且 ，则 的值为na734a2tan()A B C D34若 的二项展开式中 的系数为 ，则261()xa3x52aA B1 C2 D35一炮弹在某处爆炸，在 处听到爆炸声的时间比在 处晚 ，现测得 、 两地相距AB2sAB800m，并且此时声速为 340m/s，若以
3、直线 为 轴，以线段 的中垂线为 轴建立ABxABy直角坐标系，则爆炸点所在的曲线方程为A B221(0)15604xyx221(0)15604yxC D22()22()6将函数 图象上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，得函数sinyx 8的图象，再将函数 的图象按照向量 平移，即得函数 =的图()g()ygxm()yhx象，再将函数 的图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 2倍，即得函()yhx数 +1的图象，则向量 的坐标可以为()2sin84fxA B C D1,(2,1)1(2,)(,1)7已知函数 的反函数是 ，则函数 的图象是2logyxyfxyfxA B C D 8
4、已知 ，则向量 在向量 上的投影为(1,2)3,4(2,)(3,5)CDABA B C D0510101059若 在点 处的切线方程为24xy(,3)PA B3040xyC Dxy210顶点在同一球面上的正四棱柱 中， ，则 两AC1,2AB,AC点间的球面距离为A B C D4224211已知函数 ，且 则 等于 -nf为 奇 数为 偶 数 ()1),naf210aA0 B1 C50 D10012对于集合 ，称 为开集，当且仅当任意 ，存在正数(,)|,MxyRM0PM，使得 ，已知集合 ，r0|Pr(,)|425xy，则(,)|,NxyA 是开集， 不是开集 B 不是开集， 是开集NC 和
5、 都是开集 D 和 都不是开集第卷（非选择题 共 90分）二、填空题：本大题有 4个小题，每小题 4分，共 16分；把答案填在答题卡横线上。13 _。3lim1nbC14若实数 满足不等式组 ，则 的最大值为_。,xy1yx2zxy15某班级要从 6名男生、4 名女生中选派 6人参加某次社区服务，要求女生甲、乙要么都参加、要么都不参加，同时要求至少有一名女生参加，那么不同的选派方案种数为_（用数字作答）16 、 是两个实数，给出下列条件：ab ； ； 。其中能腿出“ 、12,ab;2ab2ba中至少有一个数大于 1”的条件是_。三、解答题：本大题共 6个小题，满分 74分，解答时要求写出必要的
6、文字说明或推演步骤，17 （本小题满分 12分）在 中，已知内角 ，边 ，设内角 的面积为ABC3A23BC,BxACy（I）求函数 =的解析式和定义域；()yfx（）求 的最大值。18 （本题满分 12分）一对外国夫妇携带有白化病遗传基因，已知他们生出的小孩患有白化病的概率为 ，不34患此病的概率为 他们生的孩子是男孩或女孩的概率均为 ，现在已知该夫妇有三个1;4 12孩子。（I）求三个孩子是同新别的且都患病的概率 （结果用最简分数表示） ；1P（）设三个孩子中，患病男孩的人数为 ，求随机变量 的分布列以及期望（结果用最简分数表示）19 （本题满分 12分）如图，正三棱柱 中， 是 的中点，
7、1ABCDBC1AB（I）求证： 平面 ；1/（）求二面角 的平面角的余弦值。120 （本题满分 12分）已知函数 在 上是增函数21()ln(4)fxxa(1,)（I）求实数 的取值范围；a（）设 其中 ，求函数 的最小值。2(),xxge0,ln3()gx21 （本题满分 12分）设直线 与椭圆 相切。ykxm21(0)xyab（I）试将 用 表示出来；（）若经过动点 可以向椭圆引两条互相垂直的切线， 为坐标原点，求证： 为PO|PO定值。22 （本题满分 14分）已知各项全不为零的数列 的前 项和为 ，nanS(1),2naN（I）求证：数列 为等差数列；n（）若 ，求证：对任意的正整数
8、 ，不等式 恒成立。2a13llnnaa2009年西安市高三年级第三次质量检测试题参考答案及评分标准数学（理）第 I卷（共 60分）一、选择题（每小题 5分，共 60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B C C A A A A D B A A第卷（共 90分）二、填空题（每小题 4分，共 16分）13 143 1597 1616三、解答题（共 74分）17 （本小题满分 12分）（I） 的内角和 。ABC2,033BCAB，2sin4i()x1sni(),()2y x（） 3143sin()4icosin2xx2 76icosisin(),(2)66x当
9、即 时， 取最大值2x3xy318 （本题满分 12分）记 A：该夫妇生一个小孩是患病男孩，B：该夫妇生一个小孩是患病女孩：C：该夫妇生一个小孩是不患病男孩；D：该夫妇生一个小孩是不患病女孩，则11(),()428428PPCD（I） 1B()()A33327(856P（）显然， 的取值为 0，1，2，331235125(0)(;()()88PPC357C所以 的分布列为显然， ，故3(,)8B:398E19 （本题满分 12分）解法一：（I）证明：连接 ，设 ，连接 DE1A11BE三棱柱 是正三棱柱，且 ，CA四边形 是正方形，1BE 是 的中点，又 是 的中点，AD 1/DEC 平面 平
10、面 ，1,B1AB 平面1/A（）解：在平面 内作 于点 ，在面 ；内作 于 连CDF1AB1FGAB接 。G平面 平面 ， 平面 ，1BA1 是 在平面 上的射影，F1 1,FGD 是二面角 的平面角DD设 在正 中，1,ABAC34在 中， 在 中，E2,8FGRtF6tan3DFG0 1 2 3P125251352751从而 15cosFGD所以，二面角 的平面角的余弦值为1BA15解法二：建立空间直角坐标系 ，如图，xyz（I）证明：连接 设 ，连接 ，设1,ED1AB则 13(0,)(,)2DA(,),(0,)4EC1313242ADE平面 平面 平面E1,BA1,/BAC1BD（）
11、解： 1 133(0,),(,0)(0,)(,0)22设 是平面 的法向量，则 ，且1,npqr1ABD1nA1nB故 ，取 ，得 ；30,2r1(2,0)同理，可求得平面 的法向量是123,n设二面角 的大小为 ，则1BAD125cos|n所以，二面角 的平面角的余弦值为1 520 （本题满分 12分）（I） ()4fxa在 上是增函数，1,)在 上恒成立，即 恒成立。0x(,)14()ax（当且仅当 时，等号成立） ，12x1x4()所以 a（）设 ，则xte222()()(0)gtattat0ln3,1（1）当 时， 最小值为 ；2a()t2（2）当 时， 最小值为g95a21 （本题满分 12分）（I）将 代入 得 ，整理得ykxm21yab22()0xkmab2222() 0abxa由 得 ，故4()()kb22akb2mab（）当两条切线的斜率都存在而且不等于 时，设其中一条的斜率为 k，0则另外一条的斜率为 1k于是由上述结论可知椭圆斜率为 k的切线方程为2ykxab又椭圆斜率为 的切线方程为12yxbk由得 22()ak由得 kyxb两式相加得 2222(1)()(1)kxkab于是，所求 P点坐标 满足 因此，,y3y2|POab当一条切线的斜率不存在时，另一条切线的斜率必为 0，此时显然也有2|Oab
