1、破解圆锥曲线离心率范围的常见策略一、直接利用条件寻找 的关系求解ca,例1 设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是a1)(22yxeA. B. C. D.)2,(5,()5,()5,2(解析 根据题意得 .选B.12aae小结 通过对题目已知条件的分析，尽可能直接建立离心率的不等关系来进行求解.例2 椭圆 的两个焦点分别为 ，斜率为 的直线 过右)0(12byax 21,Fkl焦点 ，且与椭圆交于 两点，与 轴交于 点.若 ，当 时，FBA,yMB62|求椭圆离心率的取值范围.解析 设直线 的方程为 .令 ，得 ，即点 的坐标为l)(cxk0ckyM.),0(ck点 分 的比为2， ，即 .B
2、MF32kcyB)3,(点 在椭圆上，将点B的坐标代入已知等式得 .19422ek ， ，即 .整理得 .又62|k24k192e 037， .10e1e小结 解答本题的关键是如何建立 与 之间的关系，然后再利用 的取值范围来求解kk的取 值 范围，同 时要注意椭圆 离心率 隐含的范围为 .e)1,0(e例3 斜率为2的直线过中心在原点且焦点在 轴上的双曲线的右焦点，与双曲线的两x个交点分别在左、右两支上，则双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.e31515解析 设双曲线的方程为 ，右焦点的坐标为 ，直线)0,(2bayx )0,(c的方程为 .l)(2cxy由 ，得 .)(1ba
3、)4(8)4( 2222 cx根据题意得 .于是有04)( 0)6221abcxb.选D.5.05,42ecab小结 解答本 题时，学生要将直线的方程与双曲线的方程联立后，使判别式大于零，同时注意 .021x二、利用圆锥曲线的第一定义或第二定义求解例4 双曲线 的两个焦点为 ，若 为其上一点，且)0,(12bay 21,FP，则双曲线离心率的取值范围是|21PFA. B. C. D.)3,(3,(,),3解析 由双曲线的定义得 .aaPF4| 2121 . .| 221,6ca故双曲线离心率的取值范围是 .选B.3(例5 双曲线 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距)0,12byax离相等
4、，则双曲线离心率的取值范围是A. B. C. D.2,1(),21,(),21解析 利用双曲线的焦半径公式有.aecaxeax )2200 .又双曲线的离心率 ，210112 ec 1e所以选C.小结 圆锥曲 线上的点到焦点的距离或到准 线的距离，通常要用它们的第一定义或第二定义来建立联系.三、利用圆锥曲线的范围(有界性)求解例6 椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为椭圆 上)0(1:2bayxM21,FPM的任意一点，且 的最大取值范围是 ，其中 ，则椭圆 的1PF 3,2cba离心率 的取值范围是eA. B. C. D.2,42,)1,)1,解析 设 ，则 .又 ，,()0,(1yxc 22c
5、yxPF 12byax . ，222,aaxby 2221)( cba.当 时， ， .选B.,0xmax|bPF 132ec小结 确定椭圆 上点 与 的等量关系，由椭圆的范围，即 建),(yxc, byax|,|立不等关系.如果涉及到曲线上的点到焦点的距离的有关问题，可用曲线的焦半径公式分析.四、利用数形结合求解例7 如右图所示，椭圆 和圆)0(12ba(其中 为椭圆的半焦距)有四个不同的22)cbyx交点，求椭圆的离心率的取值范围.yxO解析 要使椭圆与圆有四个不同的交点，只需满足 ，acb2即 22482cabccab. 53530534 2222 eca小结 将数用形来体 现，直接得到
6、 的关系， 这无疑是解决数学问题最好的一种方cba,法，也是重要的解题途径.从以上四种求圆锥曲线离心率的范围的策略来看，我们要明确求离心率的范围的关键是建立一个 的不等关系，然后利用椭圆与双曲线中 的默认关系以及本身离cba, 2,cba心率的限制范围，最终求出离心率的范围.【高考预测题】1.若椭圆 的离心率为 ，则 m 为142ymx2A. B.3 C.3或 D.16316362.双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则2xy A. B. C. D.414413.双曲线 的离心率 的取值范围是2kke则),(A.(-6，6) B.(-12，0) C.(1，3) D.(0，12)4.若双曲线 -
7、 =l 上一点 P 到它的右焦点的距离为 4，则点 P 到它的左准线的距42x5y离为A. B.4 C. D.8或383163165.若椭圆 和双曲线 有共同的焦点 F1、F 2，且)(2myx )0(2nyxP 是两条曲线的一个交点，则PF 1F2的面积是A.1 B. C.2 D.426.曲线 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 的直线与双曲线(0,)xyab60o的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A. B. C. D.(1,1,2,)(2,)7.已知双曲线的渐近线方程是y= x，则此双曲线的离心率是 .43参考答案 1.C 2.B 3.D 4.C 5.A 6.C 7. 534或
