1、第 八 章 立体几何 8.4 直线、平面垂直的判定和性质高考数学 (浙江专用 )考点 垂直的判定和性质1.(2017课标全国 文 ,10,5分 )在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,E为棱 CD的中点 ,则 ( )A.A1E DC1 B.A1E BD C.A1E BC1 D.A1E AC五年高考答案 C A1B1 平面 BCC1B1,BC1 平面 BCC1B1, A1B1 BC1,又 BC1 B1C,且 B1C A1B1=B1,BC1 平面 A1B1CD,又 A1E 平面 A1B1CD, BC1 A1E.故选 C.2.(2014浙江文 ,6,5分 )设 m,n是两条不同的直线 ,是两个不
2、同的平面 ( )A.若 m n,n ,则 m B.若 m , ,则 m C.若 m ,n ,n ,则 m D.若 m n,n , ,则 m 答案 C 对于选项 A、 B、 D,均能举出 m 的反例 ;对于选项 C,若 m ,n ,则 m n,又 n , m ,故选 C.3.(2015安徽 ,5,5分 )已知 m,n是两条不同直线 ,是两个不同平面 ,则下列命题正确的是 ( )A.若 ,垂直于同一平面 ,则 与 平行B.若 m,n平行于同一平面 ,则 m与 n平行C.若 , ,则在 内 与 平行的直线D.若 m,n ,则 m与 n 垂直于同一平面答案 D 若 ,垂直于同一个平面 ,则 ,可以都过
3、 的同一条垂线 ,即 ,可以相交 ,故 A错 ;若 m,n平行于同一个平面 ,则 m与 n可能平行 ,也可能相交 ,还可能异面 ,故 B错 ;若 ,不平行 ,则 ,相交 ,设 =l,在 内存在直线 a,使 a l,则 a ,故 C错 ;从原命题的逆否命题进行判断 ,若 m与 n垂直于同一个平面 ,由线面垂直的性质定理知 m n,故 D正确 .4.(2014广东 ,7,5分 )若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1 l2,l2 l3,l3 l4,则下列结论一定正确的是 ( )A.l1 l4 B.l1 l4C.l1与 l4既不垂直也不平行 D.l1与 l4的位置关系不确定答
4、案 D 由 l1 l2,l2 l3可知 l1与 l3的位置不确定 ,若 l1 l3,则结合 l3 l4,得 l1 l4,所以排除选项 B、 C,若 l1 l3,则结合 l3 l4,知 l1与 l4可能不垂直 ,所以排除选项 A.故选 D.评析 本题考查了空间直线之间的位置关系 ,考查学生的空间想象能力、思维的严密性 .5.(2017课标全国 文 ,19,12分 )如图 ,四面体 ABCD中 , ABC是正三角形 ,AD=CD.(1)证明 :AC BD;(2)已知 ACD是直角三角形 ,AB=BD.若 E为棱 BD上与 D不重合的点 ,且 AE EC,求四面体 ABCE与四面体 ACDE的体积比
5、 .解析 (1)取 AC的中点 O,连接 DO,BO.因为 AD=CD,所以 AC DO.又由于 ABC是正三角形 ,所以 AC BO.从而 AC 平面 DOB,故 AC BD.(2)连接 EO.由 (1)及题设知 ADC=90,所以 DO=AO.在 Rt AOB中 ,BO2+AO2=AB2.又 AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故 DOB=90.由题设知 AEC为直角三角形 ,所以 EO= AC.又 ABC是正三角形 ,且 AB=BD,所以 EO= BD.故 E为 BD的中点 ,从而 E到平面 ABC的距离为 D到平面 ABC的距离的 ,四面体 ABCE的体积为
6、四面体 ABCD的体积的 ,即四面体 ABCE与四面体 ACDE的体积之比为 11.6.(2017课标全国 文 ,18,12分 )如图 ,在四棱锥 P-ABCD中 ,AB CD,且 BAP= CDP=90.(1)证明 :平面 PAB 平面 PAD;(2)若 PA=PD=AB=DC, APD=90,且四棱锥 P-ABCD的体积为 ,求该四棱锥的侧面积 .解析 本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算 .(1)证明 :由已知 BAP= CDP=90,得 AB AP,CD PD.由于 AB CD,故 AB PD,从而 AB 平面 PAD.又 AB 平面 PAB,所以平面 PAB 平面 P
7、AD.(2)在平面 PAD内作 PE AD,垂足为 E.由 (1)知 ,AB 平面 PAD,故 AB PE,可得 PE 平面 ABCD.设 AB=x,则由已知可得 AD= x,PE= x.故四棱锥 P-ABCD的体积 VP-ABCD= ABADPE= x3.由题设得 x3= ,故 x=2.从而 PA=PD=2,AD=BC=2 ,PB=PC=2 .可得四棱锥 P-ABCD的侧面积为 PAPD+ PAAB+ PDDC+ BC2sin 60=6+2 .方法总结 1.面面垂直的证明证明两个平面互相垂直 ,可以在一个平面内找一条直线 l,证明直线 l垂直于另一个平面 .2.线面垂直的证明(1)证明直线 l垂直于平面内的两条相交直线 .(2)若已知两个平面垂直 ,则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 .3.几何体的体积柱体的体积 V=S底 h.锥体的体积 V= S底 h.4.几何体的表面积直棱柱的侧面积 S侧 =C底 l,其他几何体一般要对各个侧面、底面逐个分析求解面积 ,最后求和 .
