1、充分运用图表，引导学生建构知识体系 例谈思维 图 表 在小学数学 总 复习中的应用 江苏省江阴市华士实验小学 段安阳 邮编 214421 复习课是小学数学教学中的重要组成部分，根据小学数学内容的逻辑性、严密性与系统性的特点及小学生的遗忘规律， 我们必须认真组织好 复习 教学工作 。 可 当前的 数学复习课往往 存在这样 误区：要么 教师一个劲儿 地罗列堆砌旧知； 要么就是把学习内容从头到尾 拎一遍 ， 然后 大量 做题，搞题海战术 。于是乎 常常听到数学教师这样感叹： “复习课难上”、“除了练习还是练习” 、这样题型不知讲了多少遍了 ， 还有很多人 错，真不可思议 难道数学复习课就是回忆旧知巩
2、固技能吗？ 小学数学整理与复习课不是对已学数学知识内容的简单重复，它是在学生已有的数学知识基础上对原先学习过的数学知识内容进行高层次上的再学习，它更多地是一个加深理解数学知识，扩大数学知识联系，进一步提高数学知识掌握水平，提高数学知识应用能力和技能的过程。 其 功能应该包含 以下 三个方面：一是 梳理旧识， 查漏补缺， 巩固技能，提高正确率。二是纵横联系，使知识系统化、结构化。三是在整体的角度 审视旧知 ，体会数学知识 间 的生成 ， 进一步发展学生的 数学 思维能力和综合能力。 对于第一点的 “梳理旧知，查漏补缺， 巩固技能”大家已经形成一定的教学经验，这里就不一一赘述。关于数学复习教学中如
3、何引导学生纵横联系，使知识系统化、结构化， 建构属于学生自己的知识体系， 发展数学思维 ， 本文结合自己的教学实践谈一谈思维 图 表 在小学数学复习教学中的应用。 作为复习课的一 个重要环节就是要求我们根据系统论 ，引导学 生对所学的知识进行 整理，把分散的知识综合成一个整体，使之形成一个较为完整的知识体系，从而提高学生对知识的掌握水平。 数学复习课上充分运用思维图表有助于学生整体建构知识体系，发展数学思考能力。 一、常见的网络图表 。 1.树形 思维 图 树形图是 从一个中心主题发散出“主干 ” 、 “ 大枝 ” 、 “ 小枝 ” 、 “ 树叶 ”的 知识网络 图。 如复习“ 倍数与因数 ”
4、这一章节时，根据“整除 ”（新课标 中 回避整除，但是 教师 要知道“倍数与因数”是在 “ 整除 ”条件下滋生的知识分类） 这一“主干”“揪”出“ 因数 和倍数”这一对“ 大 枝”，再 分解 到 各自的 “ 小枝 ”：2、 3、 5、 的倍数的特征、 奇数与偶数、 合数 与素数、公因数与公倍数 ，由小枝再导出小树叶（具体的知识点） ， 如图 1。先 唤醒学生对旧知的“再次访问”， 然后引导学生跳出课本看概念，理清知识的主次 从属 关系， 使 学生明确什么是 主干知识，什么是枝干知识，什么是末叶知识， 使已学知识生长为一棵有生命的大树，整个知识在学生心中才能达到 融会贯通 ，整体建构的目标 。
5、而且 这样的 树形思维 图，形象生动，便于学生记忆。 树形思维图适用于需要帮助学生建立知识整体性和发展性 的知识 领域。如，数、形和体的概念体系。 2.圆圈 思维 图（韦恩图） 出道脑筋急转弯： “ 有 2 个妈妈和 2 个女 儿 去动物园，每人都买 1 张票，却只买了 3张票，这是为什么呢？ ”学生 说： “ 因为只有 3 个人， 即 只有外婆、妈妈和女儿 。 ” 教师 说： “ 这里面最重要的是妈妈 ，因为她是外婆的女儿，又是女儿的妈妈 。 ” 这里用 英国逻辑学家韦恩发明的 圆圈图也就是韦恩图表示最恰当不过了 。 韦恩图 很容易表示出集合的范围与元素之间的关系。 如复习立体图形的从属关系
6、时可以绘制圆圈 思维 图 。见 图 2。 图 2 图 3 从 上面左 图 中 学生可以非常清楚地知道，立体图形中包含圆柱、圆锥、长方体和其他一些立体图形，正方体可以看成长、宽、高都相等的特殊的长方体。 再如复习 四 边形关系时可以绘制 图 3。 当然，此类知识体系也可以绘制成树形思维图，但是绘制树形思维图 不能很清晰地表示出概念之间的包含与被包含关系。圆圈思维图最显著的优点就是非常形象地表示出各种概念之间包含关系，谁的范围大，谁的范围小，一目了然。 这样划地盘，比范围的形象图我的学生非常风趣地称之为“鸭蛋图”。 3.网络 思维 图 圆柱 圆锥 立体图形 长方体 正方体 正方形 长 方形 平行四
7、边形形 四边 形 梯 形 因数 倍数 2 的倍数 3 的倍数 5 的倍数 公倍数 最小公 倍数 奇数 偶数 合数 素数 公因数 最大公因数 数学知识讲究系统性，也就是概念的前后顺序性，前概念的理解与掌握对后概念有着至关重要的作用。数学还讲究概念之间的沟通联系，这样数学概念之间就 通过一定的关系编织成了一张张网络思维图。 数学复习课要重视网络 思维 图在复习中的作用，引导学生自主整理， 上下沟通，左右链接，编制属于自己的知识网络 。 如在复习整数概念 知识 体系时，以整数为基点，让学生依托概念 网络 图 ， 自主复习 ，主动建构 。 再 如笔者曾执教的 平面图形面积计算总复习 一课，重视引导学生
8、从面积计算公式推导的角度来整理平面图形的网络关系，教学片段如下。 师：在小学阶段，我们首先学的是哪一种平面图形的面积计算？这样安排有没有一定的 道理？你能结合刚才六种平面图形的面积计算公式的推导过程找找原因吗？请同学们分组讨论这 6 种图形之间的关系，根据相互间的联系把它们贴在一张卡纸上，并用箭头表示。比一比哪组设计的图能最好地体现出 6 种平面图形之间的联系。 学生整理后，主要有以下几种知识图。 A B C D 整数 整数的意义 十进制计数法 整数的大小比较 整数的改写和省略 数的整除 数位顺序表 计数单位 整数的读法和写法 省略“万”或“亿”后面的尾数 四舍五入法 近似数 进一法 去尾法
9、把较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的数 生 A：根据长方形面积计算公式我们可以推导出正方形、平行四边形与圆的面积计算公式。 因为正方形是特殊的长方形，而平行四边形沿着高可以剪拼成一个长方形；将圆沿着半径等分成若干份后可以拼成一个近似的长方形。再从平行四边形我们又可以推导出三角形和梯形的面积计算公式。 （其他学生的分析略。） 根据 6 种平面图形之间的内在联系，构建知识网络是学生认识上的难点，也是学生理解层面上的一次质的飞跃，本环节的设计意图是通过 教师 的引导，使学生通过小组合作学习的方式沟通各个知识点间的内在联系，连点成线，连线成网，自主构建了知识网络 ，让 每一个学生在原有认识的基础上
10、得到提高和发展。 网络思维图， 其显著的特点是，可以上下左右多方位 多角度沟通概念之间的联系， 学生在 建构 概念 网络 图中，寻找自己知识上的不足有针对性地进行 自主 复习，同时对各知识点在知识结构中的位置及 上下 前后 的 联系一目了然，从而促成了学生知识结构的重组。 4.对比表 数学上的 许多概念往往是前一个概念是后一个概念的基础，而后一个概念又 是前一个概念的发展，我们引导学生弄清概念间的纵向联系，前后沟通 。我们认为每一个相对独立的数学概念都是整个概念认知结构中的有机组成部分，不但在纵向上有共通性，而且在横向上也有密切联系 。 如复习 “ 商不变的性质、 分数的基本性 质、 小数的性
11、质以及分数、小数与百分 数的互化 ” 时 ，可以列出 如下的 对比表分析 。 这样 的对比分析表 ，可以先贯通除法、分数、比的联系， 再根据的商不变的规律、分数的基本性质、比的基本性质与小数的性质将纵向排列的四种形式分别变形。这样在纵向沟通除法、分数、比、小数的关系的同时，横向编织了各自的性质。 运用表格 对比 分析 ， 很容易找出相同和不同之处，提升学生对知识间的内在联系的把握。 名 称 举 例 联 系 区 别 性 质 除 法 3 5 被除数 除号 除数 商 一种运算 被除数和除数同时乘以或者除以相同的数(零除外 ),商不变 分 数 35 分子 分数线 分母 分数值 一个数 分数的分子和分母
12、同时乘上或除以相同的数(0 除外 ), 分数的大小不变。 比 3 ： 5 前项 比号 后项 比值 一个比 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（ 0除外），比的大小不变 小 数 0.6 一个数 小数末尾添上 0或者去掉 0,小数的大小不变 有些概念非常相似，彼此之间往往有着很多的相通之处，却又不尽相同 ；有些概念貌似分离，其实本质上有深刻的联系，对这些知识采用对比表纵横比较，有利于知识之间的分化，从而形成个体对知识的更高层次的结构性理解。 对比表， 侧重于对比分析，让学生在对比中更为深刻地掌握概念的内涵和外延，沟通概念间的联系，突出各自的特点。 如在 比较 “ 条形统计图和折线统计图的特点和作用
13、 ”、“线段、射线和直线的联系与区别” 时 都 可以绘制一张对比分析表 ，最终达到触类旁通的学习境界。 二、利用 图 表 ，促进建构 在数学总复习中，有效利用思维图表，理顺知识的从属、因果、包含等关系，使学生头脑中已学知识清晰地呈现为一张张脉络分明的知识网，各知识点有自己的确定位置， 井然有序，有条不紊，在这样 重组知识，建构体系的过程中， 收获的不仅仅是知识的有序储存和深刻记忆，还有联系的 、发展的、整体的思维能力的提升。如何充分利用思维图表，促进学生主动建构知识体系，发展思维能力呢？笔者谈三点建议： 1.抓 课前： 唤醒旧知 ， 明晰知识点 有效的课堂复习不是 学生 在课堂上 才知道今天要
14、复习什么， 而 要 提前预告。 让学生课前自主复习，课的一开始 集中回忆，明晰本节课复习内容的全部知识点。例如：四则计算的加法，相关知识点就是整数加法、小数加法、分数加法，其意义都表示把几个加数合并成一个数，计算时必须是相同单位上的数相加。因此在整数加法中就有相同数位对齐，小数加法中小数点对齐，异分母分数加法中要先通分 的具体计算法则。明晰知识点，比较分析，才能得出它们本质结构的相同点。 唤醒旧知，明晰知识点，为下一环节沟通知识间的联系作好了知识上的准备。 例如复习“倍数和因数”前，布置学生课前复习与“倍数和因数”相关的知识：整数、倍数、因数、公倍数、公因数、最大公因数、最小公倍数、素数、合数
15、、奇数、偶数等，理解各 知识点 的意义，为课上由“整除”为知识主干繁衍生长的知识大树做好准备。 2.抓 课中：串点成线，编织知识网 课堂上 应 重视让学生 对自己学过的知识进行整理，并在全班同学面前 展示自己构建的知识网络，让学生用自己的语言进行阐述 。他们在自主复 习中，对知识要点进行先期整理，记录下有疑问的地方，这样促进学生自主建构自己的知识网络，促使学习由外在要求驱动向内需性发展。 编制属于学生自己的知识网 需 分三步来完成： （ 1） 纵向勾连 ， 形成知识链 。 数学知识有着严密的逻辑结构，不论是几何知识还是代数知识，还是统计知识，其纵向发展都是一条有机的知识链，这样每一个知识点都能
16、在知识链上找到相对应的位置。如：倍数 公倍数 最小公倍数。 例如加减法，从一开始的整数加减法 小数加减法 分数加减法，它们的本质计算方法是一致的，都是用相同计数单位上的数相加减。在这个前提条件 下，根据各种数的特点的不同，才有整数加减法要数位对齐（即末尾对齐），小数加减法要小数点对齐，异分母分数要先通分再按照同分母分数加减法的法则计算等具体计算法则上的不同。 （ 2） 横向贯通 ， 形成知识面 。 有些数学知识非常相似，彼此之间有着紧密的联系，但又不尽相同，对这些知识要纵向连线，横向贯通，比较相同或相近的地方，也要比较出不同的地方，从而形成更高层次的知识结构。如：商不变的性质 分数的基本性质
17、比的基本性质。 再如：空间与图形领域中周长的计算、面积的计算可以看做一条条知识线， 所有平面图形的特征、周长和面积的计 算又构成了 平面图形 这一知识体系的知识面。 学生在这样分析梳理的过程中，其实是站在整体的高度去审视已学知识，纵横贯通，学生的认知结构有了一个新认识新调整和新提升。 （ 3） 纵横交错 ， 搭建知识体 。 知识除了要“竖连线，横连片”之外，更重要的是要将所学知识组成一个大系统 搭建知识体系 。通过串点、连线、组片、织网，使知识活化，达到提纲挈领，总体把握的目的。 例如前文用圆圈思维图表述立体图形之间、四边形之间的包含关系，用网络图梳理的平面图形的面积关系，连同图形的特征，以及
18、 立体图形体积计算等等所有“图形”的知识面搭建了一个 完 整 的知识体系。 3.抓 课后：实践应用，完善知识链 掌握知识不是最终目的，学习的终极目标是发展思维，提高运用知识解决问题的能力。学生解决实际问题的能力还需要在课堂上有目的地进行培养，可以联系实际编制综合题，提高学生综合运用知识的能力；可以编制实践题，开放题，培养学生个性思维能力和创造力。同时可以由课内向课外拓展延伸，给学生布置一些调查作业和实践应用作业，使学生的知识链在应用中得到完善与提升。 数学学科与其他学科 有着显著的不同， 数学知识 不仅要注重 纵向的前后联系 ，还要将这些知识 进行 横向贯通与融合。 在复习中充分利用 思维图表
19、能有效地帮助学生建构自己的知识体系，达到贯通与融合的目的。 思维图表不仅仅是一种教学策略，而且也是一种学习策略，能促进学生有意义学习、合作学习和创造性学习，最终使学生学会学习；思维图表还可以作为一种元认知策略，提高学生的自学能力，思维能力和自我反思能力。对学生来说，思维图表能整合新旧知识，建立知识网络，浓缩知识结构，从而在整体上把握知识。 我们要积极引导学生利用思维图表表来梳理知识，建构自己的数学知识体系，在把握整体与细节中提升数学素养，发展思维。 思维图表 对学生建构知识体系有着不可估量的作用，但并不是 所有的复习课都适用。教学时，要根据复习的内容合理选用。 总之，数学复习课千万不能简单地上成数学知识的罗列课或计算的训练课，要以 提升学习力，发展数学思维为培养目标。 本文发表于福建教育 2009 年第 4 期
