1.2 数系的构造理论 1.2.1自然数的定义 自然数严格的抽象定义是由peano公理给出的，它刻画了自然数的本质属性，并导出了有关自然数的所有运算和性质。 Peano公理陈述如下：（1）0是自然数；（2）每个自然数都有一个后继，a的后继记为a+ ；（3）没有自然数的后继为0；（4）不同的自然数有不同的后继，即若a+= b+，则a= b；（5）（归纳公理）如果0有某个属性，而且若自然数a有该属性则a+也有该属性，那么所有自然数都有该属性。 例 设m N, m0, 那么，必有n N使得 n+=m 证明 设集合A由所有这样的自然数组成：它是某个自然数的后继. 设S=0 A. 显然, 0 S. 若x S, 由A的定义有x+ A, 因而x+ S . 由归纳公理知, S=N. 因此，若m N, m0, 就必有m A, 即存在n N, 使得 n+=m. 该例题表明：每个不为0的自然数必为某个自然数的后继。加法定义1 自然数集N上的二元运算“+”称为加法，满足条件：(1)对任何aN ， a+0=a(2)对任何a, bN a+b+=(a+b)+ 例 证明 2+3=5证明： 2+0=22+1=2+0+=
