1、第 1 页 共 11 页2016 年清华大学自主招生暨领军计划试题1已知函数 有最小值，则函数 的零点个数为（ ）xeaxf)()2 axg2)(A B C D取决于 的值012【答案】C【解析】注意 ，答案 C)()(/xgef2 已知 的三个内角 所对的边为 下列条件中，能使得 的形状唯一确定的有ABBA,cba, ABC（ ）A Zcba,21B BbCaAsini2sini50C 06,co)(cosnBCD 06,13ba【答案】AD3已知函数 ，下列说法中正确的有（ ）xgxfln)(,1)(2A 在点 处有公切线,gxf0B存在 的某条切线与 的某条切线平行)()(xC 有且只有
2、一个交点,xfD 有且只有两个交点)(g第 2 页 共 11 页【答案】BD【解析】注意到 为函数 在 处的切线，如图，因此答案 BD1xy)(xg0,14过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 两点， 为线段 的中点下列说法中正确的有42FBA,MAB（ ）A以线段 为直径的圆与直线 一定相离B23xB 的最小值为|4C 的最小值为|2D以线段 为直径的圆与 轴一定相切My【答案】AB【解析】对于选项 A，点 到准线 的距离为 ，于是以线段 为直径1x |21|)|(2ABFAAB的圆与直线 一定相切，进而与直线 一定相离；对于选项 B，C，设 ，则1x3 )4,(2a，于是 ，最小值为 4也可
3、将 转化为 中点到准线的距离的 2),4(2aB4|2aB|倍去得到最小值；对于选项 D，显然 中点的横坐标与 不一定相等，因此命题错误|21M5已知 是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 上一点下列说法中正确的21,F)0(1:2byaxCPC有（ ）A 时，满足 的点 有两个ba0219PB 时，满足 的点 有四个2FC 的周长小于1FPa4D 的面积小于等于212【答案】ABCD第 3 页 共 11 页【解析】对于选项 A，B，椭圆中使得 最大的点 位于短轴的两个端点；对于选项 C， 的21PF21PF周长为 ；选项 D， 的面积为ac422212121 |sin| aPFPF6甲、乙、丙、丁
4、四个人参加比赛，有两花获奖比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ）A甲 B乙 C丙 D丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD7已知 为圆 的一条弦（非直径） ， 于 ， 为圆 上任意一点，直线 与直线 相OABOPOPAOC交于点 ，直线 与直线 相交于点 以下说法正确的有（ ）MPBCNA 四点共圆 B 四点共圆, M,C 四点共圆 D以上三个说法均不对N【答案】AC【解析】对于选项 A， 即得；对于选
5、项 B，若命题成立，则 为直径，必OPMAOB MN然有 为直角，不符合题意；对于选项 C， 即得答案：ACMN APN8 是 为锐角三角形的（ ）CcoscosinsinA充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B第 4 页 共 11 页【解析】必要性：由于 ，1cosin)2si(nsin BBC类似地，有 ，于是 1,1siAAC CACcosi不充分性：当 时，不等式成立，但 不是锐角三角形4,2B9已知 为正整数，且 ，那么方程 的解的组数为（ ）zyx, zyx21zyxA B C D8101【答案】B【解析】由于 ，故 xzyx326若 ，则
6、 ，可得 ；3x6)( )12,(5,0)18,9(24,),7(,zy若 ，则 ，可得 ；414zy 605若 ，则 ，进而解得 ；5x ,320,10y)10,5(),(zyx若 ，则 ，可得 69)(3zy)6,(,z答案：B10集合 ，任取 这三个式子中至,21naA AaaAnkji ikkjji ,1少有一个成立，则 的最大值为（ ）A B C D6789【答案】B11已知 ，则下列各式中成立的有（ ）00012,6,1A 3tantantaB n第 5 页 共 11 页C 3tantaD tt【答案】BD【解析】令 ，则 ，所以tan,t,tanzyx 311zxyzx，以上三式
7、相加，即有 )(3),1(3),1(3yzzy 3zxy类似地，有 ，以上三式相加，即有)1(3,1, zxzzxyx答案 BD31zzy12已知实数 满足 ，则 的最大值也最小值乘积属于区间（ cba,1c144cba）A B C D)12,( )3,2( )1,3( )5,(【答案】B【解析】设函数 ，则其导函数 ，作出 的图象，函数 的图象在14)(xf 142)(/xf )(xf)(xf处的切线 ，以及函数 的图象过点 和 的割线31x 32)72y f0,47,23(，如图，于是可得 ，左侧等号当 或74y 1)(7214714xxx 41x时取得； 右侧等号当 时取得因此原式的最大
8、值为 ，当 时取得；最小值23x3 3cba为 ，当 时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为 答案2,41cba )169,4(第 6 页 共 11 页B13已知 ，则下列结论正确的有（ ）1,1, 22zyxzyxRzyA 的最大值为 B 的最大值为x0x274C 的最大值为 D 的最小值为z32z31【答案】ABD14数列 满足 ，对任意正整数 ，以下说法中正确的有（ na )(6,2,1*1Nnaann n）A 为定值 B 或nn21 )9(modn )9(od2nC 为完全平方数 D 为完全平方数74a 781a【答案】ACD【解析】因为 2122122132 6)6( nnnnnn
9、 aa，选项 A 正确；由于 ，故na212)6( 3，又对任意正整数恒成立，所以7)( 212121 nnnnn aa，故选项 C、D 正确计算前几个数可判断选项 B 错21 )(78,)74n a误 说明：若数列 满足 ，则 为定值nannp12 na22115若复数 满足 ，则 可以取到的值有（ ）zzz第 7 页 共 11 页A B C D 2121215215【答案】CD【解析】因为 ，故 ，等号分别当 和 时1|zz 215|25z iz215iz215取得答案 CD16 从正 2016 边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ）A B C D652453
10、635282016【答案】C【解析】从 2016 的约数中去掉 1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数设从 2016 个顶点中选出 k 个构成正多边形，这样的正多边形有 个，因此所求的正多边形的个数就是 2016 的所有约数之和减去k062016 和 1008考虑到 ，因此所求正多边形的个数为7325答案 C3528106)1(9)(168421( 17已知椭圆 与直线 ，过椭圆上一点 作 的平行线，02bayx xylxl1:,:21P21,l分别交 于 两点若 为定值，则 （ ）21,lNM,| baA B C D325【答案】C【解析】设点 ，可得 ，故意),(0yxP )214,1(
11、),41,2( 0000 yxyNyx为定值，所以 ，答案：C 2041|MN 2,6baba说明：（1）若将两条直线的方程改为 ，则 ；（2）两条相交直线上各取一点 ，使kxyk1NM,得 为定值，则线段 中点 的轨迹为圆或椭圆|NMNQ18 关于 的不定方程 的正整数解的组数为（ ）yx, yx21652A B C D0 3第 8 页 共 11 页【答案】B19因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序例如，三个实数 相乘的时候，可以有 等等不同的次序记 个实数相乘时不同的cba, ),(,)(cabacb n次序有 种，则（ ）nIA B C D2123
12、I964I1205I【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得 答案：AB12121 )!(!nnn CAI关于卡特兰数的相关知识见卡特兰数计数映射方法的伟大胜利 20甲乙丙丁 4 个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是 0.3，乙击败丁的概率是 0.4那么甲刻冠军的概率是 【答案】0.165【解析】根据概率的乘法公式 ，所示概率为 165.0)85.30.(21在正三棱锥 中， 的边长为 1设点 到平面 的距离为 ，异面直线 的ABCPPABCxCPA
13、B,距离为 则 yxlim【答案】 23第 9 页 共 11 页【解析】当 时， 趋于与平面 垂直，所求极限为 中 边上的高，为 xCPABCABC2322如图，正方体 的棱长为 1，中心为 ，则四面体1DAB AEFO114,2,的体积为 OEF【答案】 196【解析】如图， EBFGEBFOVV21961162BCEGBFV23 dxxnn)si1()(2202【答案】0【解析】根据题意，有 0)sin1()sin1()( 222202 dxxdnn24实数 满足 ，则 的最大值为 yx,34yxy【答案】1【解析】根据题意，有 ，于是 ，等号当 时取得，2232)()(x12yx212y
14、x因此所求最大值为 125 均为非负实数，满足 ，则 的最大值与最小值分别zyx, 47)23()1()2(2ztx z为 【答案】 23第 10 页 共 11 页【解析】由柯西不等式可知，当且仅当 时， 取到最大值 根据题意，有)0,21(),(zyxzyx23，于是 解得 于41322zyxzyx ,)(3 3zyx是 的最小值当 时取得，为 )23,0(),226若 为 内一点，满足 ，设 ，则 OABC:4:COABAOSS ACB【答案】 23【解析】根据奔驰定理，有 329427已知复数 ，则 sin32coz2z【答案】 1i【解析】根据题意，有 iizz 2315sn3co1223 28已知 为非零复数， 的实部与虚部均为不小于 1 的正数，则在复平面中， 所对应的向量z40,1 z的端点 运动所形成的图形的面积为 .OP【答案】 2030【解析】设 ，由于 ，于是 如图，弓形面积为),(Ryxiz2|40z,140,1,22yx
