1、 1 / 102018 北京丰台区高三（下）综合练习（二） 数 学（理） 2018.5第一部分 （选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知 ， ，则|1Ax2|30BxAB(A) 或|(B) |13x(C) |3x (D) |（2）设 ， 为非零向量，则“ 与 方向相同”是“ ”的ababab(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（3）已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则 的值为21(0)9xyb6(A) (B) 3(C) 23(D)
2、 （4）执行如图所示的程序框图，输出的 值为 S(A) 5(B) 20(C) 13(D) 6（5）在 的展开式中，若二项式系数的和为 32，则 的系数为2()nx x(A) 40(B) 10(C) 1(D) 4（6）设下列函数的定义域为 ，则值域为 的函数是(,)(,)(A) =exy(B) =elnxy(C) (D) (1)（7）已知 满足约束条件 若目标函数 ymxz的最大值是 6，则 =m,xy0,2xy(A) 5(B) (C) 2(D) 5（8）某游戏开始时，有红色精灵 个，蓝色精灵 个游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并mn成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色
3、精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色2 / 10xyy0y0 2516O(A) 只与 的奇偶性有关m(B) 只与 的奇偶性有关n(C) 与 ， 的奇偶性都有关n(D) 与 ， 的奇偶性都无关m第二部分 （非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）已知复数 ，则 (1i)2zz（10）已知等比数列 中， ， ，则数列 的前 5 项和 na1237ana=S（11）在极坐标系中，如果直线 与圆 相切，那么 cossi（12）甲乙两地相距 km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度 不能超过 km/h已知汽车每小时运输成本为50v12
4、0元，则全程运输成本与速度的函数关系是 ，当汽车的行驶速度为 km/h 时，全程运输293650v y成本最小（13）若函数 ( ， )的部分图象如图所示，sin()yx02则 _， _=（14）如图，在矩形 中， ， ， 为边 的中点将ABCD4AEAB 沿 翻折，得到四棱锥 设线段 的中点为 ，E1C1M在翻折过程中，有下列三个命题： 总有 平面 ；M 1 三棱锥 体积的最大值为 ；1CADE423 存在某个位置，使 与 所成的角为 1C90其中正确的命题是 （写出所有正确命题的序号）三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题共 13
5、分）如图所示，在 中， 是 边上的一点，且 ， ， ， ABCD14AB6D3AC27cos（）求 ；sin（）求 的长和 的面积D（16） （本小题共 13 分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数” ，收集了使用该型号电动汽车 年以上的部1分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数” 从年龄在 40 岁以下的客户中抽取 10 位归为 A 组，从年龄在 40 岁（含 40 岁）以上的客户中抽取 10 位归为 B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示 A 组的客户， “”表示 B 组的客户CDBA1 MED CBA3 / 1
6、0+实km实450350250 实70605040302010注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值（）记 A， B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为 ， ，根据图中数据，试比较mn， 的大小（结论不要求证明） ；mn（）从 A， B 两组客户中随机抽取 2 位，求其中至少有一位是 A 组的客户的概率；（III）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于 350，那么称该客户为“驾驶达人” 从 A， B 两组客户中，各随机抽取 1 位，记“驾驶达人”的人数为 ，求随机变量 的分布列及其数学期望 E（17） （本小题共 14 分）如图所示
7、，在三棱柱 中， 是 中点， 平面 ，平面 与棱 交于点 ，1ABCDAC1ABC1D1AC， 1=AC（）求证： ；1DE（）求证： ；B（）若 与平面 所成角的正弦值为 ，1C1A217求 的值BD（18） （本小题共 13 分）已知函数 ， ， ()cosfxax0,2()a（）当 时，求 的单调区间；1afEDA1 C1B1CAB4 / 10（）求证： 有且仅有一个零点()fx（19） （本小题共 14 分） 已知椭圆 ： 的长轴长为 ，离心率为 ，过右焦点 且不与坐标轴垂直的直线C21(0)xyab412F与椭圆相交于 ， 两点，设点 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， lMN,PmPM
8、N1k2（）求椭圆 的方程；（）若 ，求 的值120k（20） （本小题共 13 分）已知数列 的前 项和为 ， ， ，当 时， 其中， 是数列的前nanS1=0a2mn1,.nnaktStk项中 的数对 的个数， 是数列的前 项中 的数对 的个数 n1ii1(,)it 1iia1()ia(,23,1)in（）若 ，求 ， ， 的值；5m3a45（）若 为常数，求 的取值范围；n()m（）若数列 有最大项，写出 的取值范围（结论不要求证明） （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）5 / 10数学试题答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。题号 （1） （2）
9、 （3） （4） （5） （6） （7） （8）答案 D A B C D D C B二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9） i（10） 12（11） 1（12） ；180yv(120)v10 （13） ；43（14）注：第 12，13 题第一个空填对得 3 分，第二个空填对得 2 分；第 14 题只写对一个得 2 分，有一个错误不得分三、解答题： （15） （本小题共 13 分）解：（）在 中，因为 ， ，ACD()ACDC3A所以 sinsi()3 2 分31coin2C因为 ， ，7s0所以 4 分21in1cos7C所以 5 分332si+=4DA（）在 中
10、，由余弦定理可得B， 7 分22cosBADB所以 ，214663A所以 ， 即 210D(16)(0)所以 或 （舍） 所以 8 分A在 中，由正弦定理得 ，CsinsiCDA6 / 10即 ， 10 分103247CD所以 11 分5所以 111053sinsin222ABCSDABDCA即 13 分053AB（16） （本小题共 13 分）解：（） 3 分mn（）设“从抽取的 位客户中任意抽取 位，至少有一位是 A 组的客户”为事件 M，则202 6 分 11209()38CPM所以从抽取的 位客户中任意抽取 位至少有一位是 A 组的客户的概率是 22938（III）依题意 的可能取值为
11、 ， ， 1则 ； ；1980()25CP118920()5CP 10 分10(2)所以随机变量 的分布列为： 012P1825350150所以随机变量 的数学期望 12 分21E即 13 分103E（17） （本小题共 14 分）（）证明：在三棱柱 中，1ABC侧面 为平行四边形，1所以 EDA1 C1B1CAB7 / 10又因为 平面 ， 平面 ，1B1AC11AC所以 平面 2 分因为 平面 ，且平面 平面 ，11D1B1DE所以 4 分BE（）证明：在 中，因为 ， 是 的中点， AC=CA所以 因为 平面 ，如图建立空间直角坐标系 5 分1DDxyz设 ， ，=Bab在 中 ， ，1
12、A12A190所以 ，所以 ， ，3(,)(,)b， 1(0,)b,0Ba所以 ， ()A(,0)Da7 分所以 ，103b所以 9 分B（）解：因为 ， 所以 ，即 (,3)Eb1(,3)DEBab1(,3)Bab因为 ，所以 10 分0C(,03)a设平面 的法向量为 ， 1AB=nxyz因为 ，即 ，0n0ba令 ，则 ， ，=za3yx所以 12 分(,)nb因为 11222| 3|cos,nCBab所以 ，即 ，223=74ab44190所以 或 ，即 或 14 分=ACBD3z yxBACB1C1A1DE8 / 10（18） （本小题共 13 分）（）解：依题意 2 分()cosi
13、nfxxa令 ， ， 则 ig0,2()2sincos0gxx所以 在区间 上单调递减()x0,2因为 ，所以 ，即 ， 4 分1ga()0gx()0fx所以 的单调递减区间是 ，没有单调递增区间 5 分()fx,2（）证明：由（）知， 在区间 上单调递减，且 ， ()g0, (0)1ga()2ga当 时， 在 上单调递减1afx,2因为 ， ，(0)f()1)0fa所以 有且仅有一个零点 7 分x当 ，即 时， ，即 ， 在 上单调递增2a2()gx()0fx()f,2因为 ， ，(0)f()10fa所以 有且仅有一个零点 9 分x当 时， ， ，12a()g()02ga所以存在 ，使得 1
14、0 分0,x0x， ， 的变化情况如下表：()ffx0(,)x0x0(,)2x()f+ 0 -x 极大值 所以 在 上单调递增，在 上单调递减 11 分()f0,)0(,)2x因为 ， ，且 ，a(1)2fa所以 ，所以 有且仅有一个零点12 分()f()fx综上所述， 有且仅有一个零点 13 分x9 / 10（19） （本小题共 14 分） 解：（）依题意得 ，所以 1 分24a2a因为 ，所以 2 分1ce1c所以 3 分23b所以椭圆 的方程为 4 分C2143xy（）椭圆的右焦点 5 分(1,0)F设直线 ： ，设 ， 6 分l)ykx1(,)Mxy2(,)Nxy联立方程组 ， )1(
15、342xky消 得 ， 成立 8 分222(84(3)0k所以 ， 9 分1223kx12x因为 ， 10 分12120ykm所以 ，即 ，11 分1212()()xx121()()0ymxyx所以 恒成立 12 分2112()()0kk因为 ，所以 ，0mxx即 ， 13 分2284(3)(1) 03kk化简为 ，222()(4)所以 14 分4m（20） （本小题共 13 分）解：（）因为 ， ， 所以 ，所以 1 分1=0a2512a3214a因为 ，所以 2 分334因为 ，所以 4 分45+所以 ， ， 3aa10 / 10（）当 时， ， ， 5 分0m3a40当 时，因为 ，所以 ，123221ama所以 1234m因为 ，所以 ，所以 7 分3a当 时，因为 ，所以 ，0m12a3221ama所以 1234m因为 ，所以 ，所以 9 分3a所以 时， 为常数的必要条件是 n1na 2,0m当 时， ，2m34因为当 时， ，都有 ，()k1n11nSa所以当 符合题意，同理 和 也都符合题意 10 分20所以 的取值范围是 ,0（） 或 13 分|2m（若用其他方法解题，请酌情给分）
