1、一课研究之 “三角形的面积 ” 原创 2016- 04 - 1 一课研究 一课研究 一课研究 1 向你介绍我是谁 大家好！我是朱乐平名师工作站 “一课研究 ”第一小组的学员陈敏。很高兴和大家一起走进小学数学教学园地，探寻其中的美和奥秘。 本期内容有哪些（ 1）听一听：什么是 “海伦公式 ”？（ 2）读一读：日本教材中， “三角形的面积 ”部分是怎样编写的？对我们的教学有何启示？（ 3） 看一看：道古桥（ 4）来分享： “一课研究 ”教学展示活动有哪些？ 3 轻轻松松听听书 海伦公式是用来计算（ ） A 三角形的面积 B 三角形的周长 C 平行四边形的面积 D 圆的面积 4 坚持阅读八分钟 您上
2、过三角形的面积这节课吗？您是怎样处理 “倍拼 ”思路的（即，用 2 个全等的三角形拼成平行四边形，进而利用平行四边形面积推导三角形面积）？您有这样的遗憾 吗？ 当学生面对 1 个三角形时，并不能主动想到要构造一个全等三角形以拼成平行四边形。 “倍拼 ”思路是在老师授意下或教具、学具的暗示下被动形成的。 01 学生为什么想不到 “倍拼 ”的思路？ 克莱门兹等人（ Clements， Wilson&Sarama,2004）的研究表明，学生的图形构造能力可以划分为以下六个层次： 层次 1：前构造者（ pro-composer），处于这一层次的学生 只能操作单一的图形，而不能把它们组合成更大的图形；
3、层次 2：堆砌者（ piece assembler），这一层次的学生能够用试误的方法按照要求或根据模型把一些简单的图形组合在一起，但不能通过运动从不同的角度去考察图形； 层次 3：制图者（ picture maker），这一层次的学生能够把一些具有简单性质的图形联接在一起，但仍不能有预见地去构造新的几何图形； 层次4：图形构造者（ shape composer），这一层次的学生能够有预见地和有意识地去构造新的图形。他们能够根据角度的大小，或者边的长短去选择合适 的图形，能够自由地旋转和翻折图形，以适应不同的位置，能够镶嵌复杂的图案，并初步形成对称的概念； 层次 5：合同构图者（ substit
4、ution composer），这一层次的学生能够有意识地合成图形，能够充分认识和运用图形的合同（全等）关系； 层次 6：图形的创造者（ shape composite iterator），这一层次的学生能够创造性地构造出新的图形或图案，能够利用各种几何变换进行平面的镶嵌。 可以想见，当学生把画有高线的平行四边形转化成长方形时，只需要达到层次 2-3 即可，而学生要把三角形转化成平 行四边形则需要达到层次 4-5。 图形构造能力不是一蹴而就的，也不会单纯随年龄增长而进步，这与学生的活动经验是分不开的，而根据对教材编写情况的统计，学生平时图形活动课时较少，内容也不丰富。 02 学生自主拼图的水平
5、究竟如何？ 2012 年，笔者对普通公办学校1 个班 28 名学生进行图形转化能力的观察，要求学生把三角形转化成长方形或者平行四边形，并说明转化前后图形之间的联系，时间为 15 分钟。 结果发现，在 15 分钟的工作时间内，很多学生没有操作的思路，他们有的把整个三角形沿方格线一格一格剪开，然后试图用 “散件 ”重 “塑 ”一个长方形或平行四边形；有的漫无目的地将三角形的角折来折去，也许在期待一次意外的突破；还有的，同桌中有一人说要用两个三角形拼成平行四边形（说明学生已在课外了解过相关思路），但实际上他们使用的却是两个不相关的三角形（比如一个锐角三角形和一个钝角三角形），从而不得要领。 全部 2
6、8 名被试，完成情况如下表 注： 在直角三角形变形成功的案例中，有 3 人（占 10.7%）采用的是碎拼的办法； 学生中有 1 人（占 3.6%）使用倍拼法完成各类三角形变形； 学生中有 5 人（占 17.9%）图形转化过程毫无建树。 03 怎样破解学生的难题 看日本教材如何编写 “三角形的面积 ”？ 接下来我们介绍启林馆算数（ 5 下）（平成 13年 1 月 20 日检定出品）第一单元第一课时三角形的面积相关编写。看看能否得到一些启示？本单元的单元结构是怎样的？ 算数教材的单元结构与我国通用各教材不同。整个单元分 3 课时，首先教学三角形的面积计算，再教学平行四边形的面积计算，两者都是转化为
7、长方形来推导面积计算公式的。第 3课时讨论了三角形的面积变化规律。练习中涉及到任意四边形（四角形）的求积问题（如下图 1），多分割为 2 个三角形来解决，一些特殊的图形，如梯形，也可以分割成 1 个三角形和 1 个平行四边形。 本课的课时结构是怎样的？ 教材分两步来教学三角形的面积计算。 首先，在单元主题图中简单处理了直角三角形的面积计算。 单元主题图是一幅街道的平面图，其中有 3 个地点已抽象成平面图形：足球场 -长方形，公园 -直角三角形，竞技场 -有一个角是直角的四边形（如下图 2）。 数学问题即这 3 个地点的占地面积 分别是多少？先求足球场即长方形的面积，这是已有的基础；再求公园即直
8、角三角形的面积，容易想到直角三角形的面积是对应的长方形面积的一半；最后试求竞技场的面积。通过两个孩子的对话提出把该四边形分割成一个直角三角形和一个锐角三角形，直角三角形的面积已经会求了，但锐角三角形的面积该怎么求呢？正式引出“三角形的面积 ”计算。 教学时，先处理锐角三角形的面积计算，主要思路是把锐角三角形的面积分成两个直角三角形的面积和（如下图 3）； 再处理钝角三角形的面积计算，主要思路是把钝角三角形的面积看成两个直角三角形的面积差（如下图 4）；最后统一三角形面积计算公式为：三角形面积 =底 高 。 对教学有什么启示？ 启林馆的教学序列与我们调查所知的学生的思维较为吻合，值得一试 以直角
9、三角形这个特殊三角形为中介，引导学生主动完成 “倍拼 ”的构想。如： A.师：每人的 信封中都有 3个三角形，看一看，想一想，你会求哪个三角形的面积？ 在学生尝试的基础上，反馈：求出 1 号三角形面积的同学举手？ 2 号？ 3 号？看来，会求 2 号三角形面积的同学最多。那我们就先来研究它。 B.指名学生汇报计算方法。 方法 1：数。把不到一格的分别拼起来 引导学生评价，改善：一格一格拼太麻烦了，可以整体切拼。 师强调： （ 1）怎样切割才能拼成长方形？ （ 2）拼成的长方形和原来三角形各部分之间是什么关系？ 方法 2：在这个直角三角形的 “对面 ”画一个和它一样的三角形 得到的长方形面积是直
10、角三角形的 2 倍。直角三角形的面积 =两条直角边的积 2。 师强调 : （ 1）两条直角边相乘求的是什么？ （ 2）为什么要除以 2？ 小结、板书：直角三角形的面积 =直角边长 直角边长 2 C.现在再来看 1号和 3号三角形，你是否有办法算出它们的面积了呢？请同桌商量，先各选 1个尝试，再相互交流。 （以下过程略。） 【意图说明】 1.将直角三角形转化成长方形的两种主要思路 中位线割补和倍拼法可以直接被借鉴到锐角三角形和钝角三角形的研究中。 2.直角三角形又可以作为已知面积公式的基本图形 ，为后续研究服务，即可以把锐角三角形和钝角三角形分割成直角三角形以推导面积。 3.图形活动的经验是逐步
11、启发，逐步优化的，锐角三角形、钝角三角形与直角三角形分层做 ,提供更多机会感知、感悟和强化化归的各种具体方法。 5 看一看道古桥 6 一起来分享同课异构，您一定有经历，但您听说过，同一知识内容在三个不同的年级教学吗？代数思维，您一定不陌生，但您思考过，同一种数学思想在系列课中螺旋上升吗？微信平台，您一定很熟悉，但您参与过，以 “微信阅读 ”为主题的数学校本教研吗？有这么一群人，他们正在对一节一节的课展开多维度研究， 欢迎您共聚 “一课研究 ”团队的教学展示活动，一起经历研究的酸 甜苦辣，一起分享研究的成果 ! “一课研究 ”教学展示活动课程安排 活动时间： 2016 年 4 月 21-23 日 活动地点： 杭州天地实验小学 活动报名： 李老师 联系电话： 0571-87021841 欢迎登陆网站 http:/ 关注活动详情。 你若盛开 蝴蝶自来 用手指长按二维码 ， 识别 后完成 关注 就能天天免费得到数学专业信息！联系我们： 审核人：李庆海 孙惠惠
