1、绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理） （北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。学科:网第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 A=x|x|f（0）对任意的 x（0，2都成立，则 f（x）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_（14）已知椭圆 ，双曲线 若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆21(0)xyMab： 21xyNmn：M 的四个交点及椭圆 M
2、的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为_；双曲线 N 的离心率为_ 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。学科网（15） （本小题 13 分）在ABC 中，a=7，b=8 ，cosB= 17（）求A；（）求 AC 边上的高（16） （本小题 14 分）如图，在三棱柱 ABC- 中， 平面 ABC，D，E，F，G 分别为 ，AC， ， 的1ABC11A1C1B中点，AB=BC= ，AC= =25（）求证：AC平面 BEF；（）求二面角 B-CD-C1 的余弦值；（）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交（17） （本小题 12 分）电影公
3、司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类电影部数 140 50 300 200 800 510好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示第 k1k类电影得到人们喜欢， “ ”表示第 k 类
4、电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6） 写出0k方差 ， ， ， ， ， 的大小关系1D234D56（18） （本小题13分）设函数 = ()fx2(41)3axaex（）若曲线y= f（x）在点（1， ）处的切线与 轴平行，求a；()fx（）若 在x=2处取得极小值，求a的取值范围()f（19） （本小题 14 分）已知抛物线 C： =2px 经过点 （1，2） 过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点2yPA，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围；（）设 O 为原点， ， ，求证： 为定值QOQ1（
5、20） （本小题14分）设 n 为正整数，集合 A= 对于集合 A 中的任意元素12|(,),0,1,2nttkn 和 ，记12(,)nx 12(,nyM（ ）= ， 122|)(|)(|)nnxxyxy（）当 n=3 时，若 ， ，求 M（ ）和 M（ ）的值；(,0,1),（）当 n=4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素 ，当 相同时，M（,）是奇数；当 不同时，M（ ）是偶数求集合 B 中元素个数的最大值；， ,，（）给定不小于 2 的 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素 ，,M（ ）=0写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说
6、明理由学科&网，绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1A 2D 3B 4D 5C 6C 7C8D二、填空题9 10 11 12363na122313y=sinx（答案不唯一） 14 1；三、解答题（15） （共 13 分）解：（）在ABC 中，cosB= ，B（ ，），sinB= 1722431cos7B由正弦定理得 = ，sin A= siniabAsinA8433B（ ， ），A（0， ），A= 223（）在ABC 中，sinC=sin（A+ B）=sinAcos B+sinBcosA= = 3143()271如图所示，在ABC 中，sinC=
7、，h= = ，sinC714AC 边上的高为 32（16） （共 14 分）解：（）在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC 1平面 ABC，四边形 A1ACC1 为矩形又 E，F 分别为 AC，A 1C1 的中点，ACEFAB=BCACBE，AC平面 BEF（）由（I）知 ACEF ，ACBE，EFCC 1又 CC1平面 ABC，EF平面 ABCBE 平面 ABC，EFBE如图建立空间直角坐称系 E-xyz由题意得 B（0，2，0） ，C（ -1，0，0） ，D（1，0，1） ，F（0，0，2） ，G（0，2，1） ，=(201)(20)CDBurur， ， ， ， ，设平面 BCD 的法向
8、量为 ，abc， ，n ， ，0CBrun20令 a=2，则 b=-1，c= -4，平面 BCD 的法向量 ，(214)， ，n又平面 CDC1 的法向量为 ，0EBur， ， 21cos=|EBurrn由图可得二面角 B-CD-C1 为钝角，所以二面角 B-CD-C1 的余弦值为 21（）平面 BCD 的法向量为 ，G（0，2，1） ，F（0，0，2） ，(24)， ，n ， ， 与 不垂直，=(021)GFur， ， GFurFurGF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内，GF 与平面 BCD 相交（17） （共 12 分）解：（）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+3
9、00+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.25=50故所求概率为 50.2（）设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评” ，事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评” 故所求概率为 P（ ）=P（ ）+P（ ）BAB=P（A） （1P（B） ）+（1P（A） ）P（B） 由题意知：P（A）估计为 0.25，P（B）估计为 0.2故所求概率估计为 0.250.8+0.750.2=0.35（） = 1D4253D6（18） （共 13 分）解：（）因为 = ，()fx2(41)axaex所以 f （x）= 2ax（4a+1） ex+a
10、x 2（4a+1）x+4a+3e x（x R ）=ax 2（2a+1）x+2e xf (1)=(1a)e由题设知 f (1)=0，即(1a)e=0，解得 a=1此时 f (1)=3e 0所以 a 的值为 1（）由（）得 f （x ）= ax2（2a+1 ）x +2e x=（ax1）(x2)e x若 a ，则当 x( ，2) 时， f (x)0所以 f (x)0所以 2 不是 f (x)的极小值点综上可知，a 的取值范围是（ ，+）12（19） （共 14 分）解：（）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2） ，所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x由题意可知直线 l
11、 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y=kx+1（k0） 由 得 241yxk2(4)10x依题意 ，解得 k0 或 0k122()k又 PA，PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点（1，-2） 从而 k-3所以直线 l 斜率的取值范围是（ -，-3）（-3，0）（0，1） （）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 由（I）知 ， 24k1k直线 PA 的方程为 y2= 1()yx令 x=0，得点 M 的纵坐标为 1122Mykxx同理得点 N 的纵坐标为 2Nky由 ， 得 ， =QOurQur=1M1Ny所以 2121224()1 1=()()MN kxxykxkk
12、所以 为定值（20） （共 14 分）解：（）因为 =（1，1，0），=（0，1，1），所以M(，)= (1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|)=2，2M(，）= (1+0|10|)+(1+1|11|)+(0+1|01|)=1（）设 =（x 1，x 2，x 3，x 4）B，则 M(，）= x 1+x2+x3+x4由题意知 x1，x 2，x 3，x 40，1 ，且 M(， )为奇数，所以 x1，x 2，x 3，x 4 中 1 的个数为 1 或 3所以 B (1，0，0，0），（0，1，0，0) ，（0，0，1， 0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1) ，(1，0，1，1)
13、 ，(1 ，1，0，1) ，(1，1，1，0).将上述集合中的元素分成如下四组： （1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0) ，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1， 1).经验证，对于每组中两个元素 ，均有 M(，）=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素所以集合 B 中元素的个数不超过 4.又集合（1，0，0，0），（ 0，1，0，0），（0，0，1， 0），（0，0，0，1) 满足条件，所以集合 B 中元素个数的最大值为 4.（）设 Sk=( x1，x 2，x n）|( x 1，x 2，x n）A，x k =1，x 1=x2=xk1=0）（k=1，2，n) ，Sn+1=( x1，x 2，x n）| x 1=x2=xn=0，则 A=S1S 1S n+1
