1、2018 年高考数学(理科)模拟试卷(一)(本试卷分第卷和第卷两部分满分 150 分，考试时间 120 分钟)第卷( 选择题 满分 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1(2016 年四川)设集合 A x|1x 5 ，Z 为整数集，则集合 AZ 中元素的个数是( )A6 B. 5 C4 D31.B 解析：由题意，AZ1,2,3,4,5，故其中的元素的个数为 5.故选 B.2(2016 年山东)若复数 z 满足 2z 32i, 其中 i 为虚数单位，则 z( )zA12i B12i C12i D12i2B
2、解析：设 zabi(a， bR)，则 2z 3abi 32i，故 a1，b2，则zz12i. 故选 B.3(2015 年北京)某四棱锥的三视图如图 M11，该四棱锥最长棱的棱长为( )图 M11A1 B. C. D22 33C 解析：四棱锥的直观图如图 D188：由三视图可知，SC平面 ABCD，SA 是四棱锥最长的棱，SA .故选 C.SC2 AC2 SC2 AB2 BC2 3图 D1884曲线 yx 32x 4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A. B. C. D.6 3 4 24C 解析：f(x )3x 22 ，f(1)1，所以切线的斜率是 1，倾斜角为 .45设 xR，x 表示不
3、超过 x 的最大整数. 若存在实数 t，使得t1， t22，t nn 同时成立，则正整数 n 的最大值是( )A3 B4 C5 D65B 解析：因为x 表示不超过 x 的最大整数由t1，得 1t0)，x R.若 f(x)在区间(，2)x2 12 12内没有零点，则 的取值范围是( )A. B. (0，18 (0，14 58，1)C. D. (0，58 (0，18 14，5810.D 解析：f(x) sin ，f(x) 0sin 0，1 cos x2 sin x2 12 22 (x 4) (x 4)所以 x (，2) ，( k Z)k 4因此 .故选 D.(18，14) (58，54) (98，
4、94) (18，14) (58， ) (0，18 14，5811四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为正方形，PA底面 ABCD，AB2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为 的同一球面上，则 PA( )24316A3 B. 72C2 D.39211B 解析：如图 D190，连接 AC，BD 交于点 E，取 PC 的中点 O，连接 OE，则OEPA，所以 OE底面 ABCD，则 O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即 O 为球心，PC ，所以由球的体积可得 3 ，解得 PA .12 12PA2 AC2 12PA2 8 43(12PA2 8) 24316 72故选 B.图 D19012已知 F 为抛物
5、线 y2x 的焦点，点 A、B 在该抛物线上且位于 x 轴两侧，若 6(O 为坐标原点)，则 ABO 与AOF 面积之和的最小值为( )OA OB A4 B. C. D.3 132 17 24 1012B 解析：设直线 AB 的方程为 xtym ，点 A(x1， y1)，B( x2，y 2)，直线 AB 与 x轴的交点为 M(m,0)，将直线方程与抛物线方程联立，可得 y2tym 0，根据韦达定理有 y1y2m，因为 6，所以 x1x2y 1y26，从而(y 1y2)2y 1y2 60，因为点 A，B 位于 x 轴的两OA OB 侧，所以 y1y23，故 m 3，不妨令点 A 在 x 轴上方，
6、则 y10，又 F ，所以 S(14，0)ABOS AFO 3(y1y 2) y1 y1 2 ，当且仅当 12 12 14 138 92y1 138y1921y1 3132 13y18，即 y1 时取等号，故其最小值为 .故选 B.92y1 6 1313 3 132第卷( 非选择题 满分 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试题考生必须作答第2223 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13平面向量 a(1,2)，b(4,2)，cmab(m R) ，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m_.132 解析：a(
7、1,2)，b(4,2)，则 cmab(m 4,2 m2)，|a| ，| b|2 5， ac5m 8，bc 8m20.c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，5 . .解得 m2.ca|c|a| cb|c|b| 5m 85 8m 202 514设 F 是双曲线 C： 1 的一个焦点，若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰x2a2 y2b2为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为 _14. 解析：根据双曲线的对称性，不妨设 F(c,0)，虚轴端点为(0，b) ，从而可知点5(c,2b)在双曲线上，有 1，则 e25，e .c2a2 4b2b2 515(2016 年北京)在(1 2x) 6
8、的展开式中，x 2 的系数为_ ( 用数字作答)1560 解析：根据二项展开的通项公式 Tr1 C (2) rxr可知，x 2 的系数为 C (2)r6 26260，故填 60.16在区间0，上随机地取一个数 x，则事件“sin x ”发生的概率为_1216. 解析：由正弦函数的图象与性质知，当 x 时，sin x .13 0，6 56， 12所以所求概率为 .(6 0) ( 56) 13三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分 12 分)已知a n是各项均为正数的等比数列，b n是等差数列，且a1b 11，b 2b 32a 3，a 53b 27.(1)求a n和 b
9、n的通项公式；(2)设 cna nbn，nN *，求数列 cn的前 n 项和17解：(1)设a n的公比为 q， bn的公差为 d，由题意知 q0.由已知，有Error!消去d，得 q42q 280.解得 q2，d2.所以a n的通项公式为 an2 n1 ，nN *，bn的通项公式为 bn2n1，nN *.(2)由(1)有 cn (2n1)2 n1 ，设c n的前 n 项和为 Sn，则 Sn12 032 152 2(2n1) 2n1 ，2Sn12 132 252 3(2n1) 2n.两式相减，得S n12 22 32 n(2n1) 2n (2n3)2 n3.所以 Sn(2n3)2 n3，n N
10、*.18(本小题满分 12 分)(2014 年大纲)设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6，0.5，0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立(1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求 X 的数学期望18解：记 A1 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备，i0,1,2.B 表示事件：甲需使用设备C 表示事件：丁需使用设备D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备(1)因为 P(B)0.6，P (C)0.4，P(A i)C 0.52，i 0,1,2，i2所以 P(D)P (A1BCA 2BA 2 C
11、)P( A1BC)P( A2B)P(A 2 C)B BP(A 1)P(B)P(C)P(A 2)P(B)P(A 2)P( )P(C)0.31.B(2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4，其分布列为P(X0)P( A0 )B CP( )P(A0)P( )B C(10.6)0.5 2(10.4)0.06，P(X1)P(B A0 A0C A1 )C B B CP(B )P(A0)P( )P( )P(A0)P(C)P( )P(A1)P( )C B B C0.60.5 2(10.4)(1 0.6) 0.520.4(10.6)20.5 2(10.4)0.25，P(X4)P(A 2BC)P(A 2)P(B)
12、P(C)0.5 20.60.40.06，P(X3)P(D)P (X4)0.25 ，P(X2)1P(X0) P(X1) P(X3)P( X4)10.060.250.250.060.38，所以 E(X)0P(X0) 1P(X1) 2P(X2)3P(X3) 4P(X4)0.2520.3830.2540.062.19(本小题满分 12 分)(2016 年四川)如图 M14，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ADCPAB90，BCCD AD，E 为边 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD12所成的角为 90.(1)在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由；(2)若二面角
13、PCDA 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值图 M1419解：(1)在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行延长 AB，DC，相交于点 M(M平面 PAB)，点 M 即为所求的一个点理由如下：由已知，BCED，且 BCED，所以四边形 BCDE 是平行四边形所以 CDEB .从而 CMEB.又 EB平面 PBE，CM 平面 PBE，所以 CM平面 PBE.(说明：延长 AP 至点 N，使得 APPN，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)方法一，由已知，CD PA，CDAD ，PA AD A，所以 CD平面 PAD.从而 CDPD.所以PDA 是二面角 P
14、CDA 的平面角所以PDA45.设 BC1，则在 RtPAD 中，PAAD2.如图 D191，过点 A 作 AHCE ，交 CE 的延长线于点 H，连接 PH.易知 PA平面 ABCD，从而 PACE.于是 CE平面 PAH.所以平面 PCE平面 PAH.过 A 作 AQPH 于 Q，则 AQ平面 PCE.所以APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角在 Rt AEH 中，AEH45，AE1，所以 AH .22在 Rt PAH 中，PH ，PA2 AH23 22所以 sinAPH .AHPH 13图 D191 图 D192方法二，由已知，CDPA，CDAD，PAAD A ，所以 CD平面 PA
15、D.于是 CDPD.从而PDA 是二面角 PCDA 的平面角所以PDA45.由 PAAB，可得 PA平面 ABCD.设 BC1，则在 RtPAD 中， PAAD 2.作 Ay AD，以 A 为原点，以 ， 的方向分别为 x 轴，z 轴的正方向，建立如图AD AP D192 所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，P(0,0,2) ，C (2,1,0)，E(1,0,0)，所以 (1,0 ，2)， (1,1,0)， (0,0,2)PE EC AP 设平面 PCE 的法向量为 n(x，y ，z) ，由Error! 得Error!设 x2，解得 n(2 ，2,1) 设直线 PA 与平面
16、PCE 所成角为 ，则 sin .|nAP |n|AP | 2222 22 12 13所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为 .1320(本小题满分 12 分)(2016 年新课标)设函数 f(x)ln xx1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明当 x(1，)时，11，证明当 x(0,1)时，1( c1) xcx.20解：(1)由题设，f (x)的定义域为(0 ，)，f(x) 1，令 f(x)0，解得 x1.1x当 00，f(x )单调递增；当 x1 时，f(x )1，设 g(x)1(c1)xc x，则 g(x) c 1c xln c.令 g(x) 0，解得 x0 .ln c
17、1ln cln c当 x0，g(x)单调递增；当 xx0 时，g (x)0.所以 x(0,1)时，1(c1)x cx.21(本小题满分 12 分)(2016 年广东广州综合测试一)已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦点为 F1(2, 0)，点 B(2， )在椭圆 C 上，直线2ykx (k0) 与椭圆 C 交于 E，F 两点，直线 AE，AF 分别与 y 轴交于点 M，N .(1)求椭圆 C 的方程；(2)以 MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由21解：(1)设椭圆 C 的方程为 1(ab0)，x2a2 y2b2因为椭圆的左
18、焦点为 F1(2,0)，所以 a2b 24.因为点 B(2， )在椭圆 C 上，所以 1.24a2 2b2由，解得 a2 ，b2.2所以椭圆 C 的方程为 1.x28 y24(2)因为椭圆 C 的左顶点为 A，则点 A 的坐标为(2 ， 0)2因为直线 ykx( k0)与椭圆 1 交于两点 E，F，x28 y24设点 E(x0，y 0)(不妨设 x00)，则点 F(x 0，y 0)联立方程组Error!消去 y，得 x2 .81 2k2所以 x0 ，则 y0 .2 21 2k2 2 2k1 2k2所以直线 AE 的方程为 y (x2 )k1 1 2k2 2因为直线 AE，AF 分别与 y 轴交
19、于点 M，N ，令 x0 得 y ，即点 M .2 2k1 1 2k2 (0， 2 2k1 1 2k2)同理可得点 N .(0， 2 2k1 1 2k2)所以|MN | .|2 2k1 1 2k2 2 2k1 1 2k2| 221 2k2|k|设 MN 的中点为 P，则点 P 的坐标为 P .(0， 2k)则以 MN 为直径的圆的方程为 x2 2 2，即 x2y 2 y4.(y 2k) ( 21 2k2|k| ) 2 2k令 y0，得 x24，即 x2 或 x2.故以 MN 为直径的圆经过两定点 P1(2,0)，P 2(2,0) ，请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答注意：只能作答在所
20、选定的题目上如果多做，则按所做的第一个题目计分22(本小题满分 10 分)选修 44：极坐标与参数方程已知曲线 C 的参数方程是Error! (为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A、B 的极坐标分别为 A(2，)、B .(2，43)(1)求直线 AB 的直角坐标方程；(2)设 M 为曲线 C 上的动点，求点 M 到直线 AB 距离的最大值22解：(1)将 A、B 化为直角坐标为 A(2cos ，2sin )，B ，即 A，B(2cos 43，2sin 43)的直角坐标分别为 A(2,0) ， B(1， )，3kAB ， 3 0 1 2 3直线 AB 的方程为 y0 (x2) ，3即直线 AB 的方程为 xy2 0.3 3(2)设 M(2cos ，sin )，它到直线 AB 的距离d ，|2 3cos sin 2 3|2 | 13sin 2 3|2d max .13 2 3223(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)|x 2|2 xa |，aR .(1)当 a3 时，解不等式 f(x)0；(2)当 x(，2)时，f( x)0，即|x 2|2x 3|0，等价于Error!或Error!或Error!解得 12x，
