1、第三章 静电场的边值问题 主 要 内 容电位微分方程，镜像法，分离变量法。3.1.1 电位微分方程3-1 镜像法 静态场问题通常分为两大类： 分布型问题 和 边值问题 。由已知场源（电荷、电流）分布，直接从场的积分公式求空间各点的场分布，称为分布型问题。如果已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布，则属于边值型问题。前面所讲静电场问题就是一些简单的分布问题。而本节的镜像法以及接下来要讲的分离变量法都是静态场边值问题的具体求解方法。此外，数值方法目前也已经成为求解静态场边值问题的一种十分普遍有效的手段，尤其目前计算机技术的飞速进步，更是给数值方法带来了十分美好前景。那么，线性各向同性的均匀介质
2、中，电位满足的微分方程式为 该方程称为 泊松方程 。 对于无源区，上式变为 上式称为 拉普拉斯方程 。 不管是电位函数的泊松方程还是拉普拉斯方程，从数学角度来说，它们都是数学物理方程，一般是二阶偏微分方程。事实上，所有静电场问题都是泊松方程或拉普拉斯在不同边界条件下的具体解答。已知，电位 与电场强度 E 的关系为 对上式两边取散度，得 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为 数学物理方程是描述物理量随 空间 和 时间 的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的 初始值 与 边界值 ，这些初始值和边界值分别称为 初始条件 和 边界条件 ，两者又统称为该方程的 定解条
3、件 。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位，或者 在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程 就是静电场的 边值问题 。3.1.2 静态场的边值问题的分类及唯一性定理1.静电场边值问题分类第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知场域边界面上的位函数值，即第三类边值问题（或混合边值问题）已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即第二类边值问题（或纽曼问题）已知场域一部分边界面上的 位函数值，而另一部分边界面上则已知 位函数的法向导数值，即2.静电场边值问题的唯一性定理对于任何数学物理方程需要研究解的 存在
4、 、 稳定 及 惟一性 问题。解的 稳定性 是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。解的 存在性 是指在给定的定解条件下，方程是否有解。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可以证明电位微分方程解也是惟一的。由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值，因此， 解的稳定性 具有重要的实际意义。解的 惟一性 是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。唯一性定理 是 静电场边值问题 的一个重要定理 ，表述为：在场域 V的边界面 S上，给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域 V内具有唯一解
5、。因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的 电位 ，或电位的 法向导数 给定时，或导体 表面电荷 给定时，空间的静电场即被惟一地确定。惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据例：（第三类边值问题）例：（第一类边值问题）惟一性定理的证明反证法 ：假设解不惟一，则有两个位函数和 在场域 V内满足同样的方程，即且在边界面 S 上有且在边界面 S 上满足同样的边界条件。令 ， 则 在场域 V内或或由格林第一恒等式可得到对于第一类边界条件：对于第二类边界条件：若 和 取同一点 Q为参考点 ，则对于第三类边界条件：当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。 非 均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代3.1.3 镜像法几个实例接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。qq非均匀感应电荷等效电荷1.问题的提出接地导体球附近有一个点电荷，如图。非 均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电荷为线电荷。q非均匀感应电荷q等效电荷结论：所谓 镜像法 是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？
