1、等腰直角三角形中的常用模型【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是 45）边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：1-1：如图：RtABC 中，BAC =90，AB=AC ，点 D 是 BC 上任意一点，过 B
2、作 BEAD于点 E，过 C 作 CFAD 于点 F。（1）求证：BE-CF=EF；（2）若 D 在 BC 的延长线上（如图（2） ） ， （1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。变式 1：等腰 RtABC 中，AB=CB，ABC=90，点 P 在线段 BC 上（不与 B、 C 重合） ，以 AP 为腰长作等腰直角PAQ，QEAB 于 ， 连 CQ 交 AB 于 M。E（1）求证：M 为 BE 的中点（2）若 PC=2PB，求 的值MBPC(2) (3)(1) DD E ECCECAB BA AB(2)FEDCBAAB CDEF(1)（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角
3、边，必定可以构造一对全等的直角三角形：1-2：如图：RtABC 中，BAC =90，AB=AC ，点 D 是 BC 上任意一点，过 B 作 BEAD于点 E，交 AC 于点 G，过 C 作 CFAC 交 AD 的延长线与于点 F。（1）求证：BG=AF；（2）若 D 在 BC 的延长线上（如图（2） ） ， （1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。变式 1：如图，在 R ABC 中，ACB =45，BAC=90 ，AB=AC ，点 D 是 AB 的中点，tAFCD 于 H 交 BC 于 F，BEAC 交 AF 的延长线于 E，求证：BC 垂直且平分 DE. 变式 2：等腰 Rt
4、ABC 中，AC=AB ， BAC90，点 D 是 AC 的中点，AFBD 于点E， 交 BC 于点 F， 连接 DF， 求证：1= 2。变式 3：等腰 RtABC 中，AC=AB ， BAC90，点 D、 E 是 AC 上两点且AD=CE，AF BD 于点 G， 交 BC 于点 F 连接 DF， 求证：1= 2。DEFFED (2)(1) CCAB BAGGBAC DEF(2)(1) FED CBA模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形2-1：连接 AD， 求证：ADB45。变式 1：等腰 RtABC 中
5、，AC=AB ， BAC90，E 是 AC 上一点 ， 点 D 为 BE 延长线上一点，且ADC135求证：BDDC。变式 2：等腰 RtABC 中，AC=AB ， BAC90，BE 平分ABC 交 AC 于 E， 过 C 作CDBE 于 D， DMAB 交 BA 的延长线于点 M，（1）求 的值；（2）求 的值。BCAMABCAB CDE F(2)(1)FEDCBA模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点（1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形：3-1：如图 1，ABC、BEF 都是等腰直角三角形，ABC=BEF=90 ，连接AF、CF，M 是 AF 的中点，连 ME，将BEF
6、绕点 B 旋转。猜想 CF 与 EM 的数量关系并证明；（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形：（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形：如图，ABC 和EBD 都是等腰直角三角形， BAC=BED=90。把 DE 平移到 CF，使 E与 C 重合，连接 AE、 AF，则AEB 与 AFC 全等（关键是利用平行证明ABE= ACF）AB CDEAB CDEEDCBA() (2) (3)ED CBA(3)FEDCBA(2) FF(1)AB CDE图1图MFEBC A(3)AB CDE(2)AB CDEEDCBA(
7、1)3-2：如图：两个直角三角形 ABC、 ADE 的顶点 A 重合， P 是线段 BD 的中点，连PC、 PE。（1）如图 1，若BAC=DAE=45 ，当 A、 C、 D 在同一直线上时，线段 PC、 PE 的关系是 ；（2）如图 2、3，将BAC 绕 A 旋转 度， （1）中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明你的结论。【经典模型】在BAC 中，AB=AC，且BAC=90有一点 D 满足BDC=90：（1） 当点 D 在边 BC 下面时，试探究 DB、DA 和 DC 的大小关系？（2） 当点 D 在边 BC 上面时，试探究 DB、DA 和 DC 的大小关系？推广： （1） ABC 为等边
8、三角形，D 为 BC 下面一点且BDC=120，此时呢？（2） ABC 为等腰三角形，D 为 BC 下面一点且BDC=60，此时又如何？图1PEDCBAABC DEP图2ABCDEP图3CBADCBAD AB CDADCBAFB D E C【猜想】在运算中是否发现 ， ， 有某种数量上的对应关系？DB1CA【巩固练习】1如图，在 中， , , 、 为 上两点，ARt90DEBC， 为 外一点，且 , ,则下列结论：45DEFF ; ; ; ,其BC22ESAE4122E中正确的是A、 B、C、 D、2已知：RtABC 中，AB=AC，BAC=90，若 O 是 BC 的中点，以 O 为顶点作MO
9、N，交 AB、 AC 于点 M、 N。（1）若MON=90（如图 1） ，求证：OM=ON ；BM 2+CN2=MN2；（2）若MON=45（如图 2） ，求证：AM+MN=CN；3.如图，在平面直角坐标系中，AOB 为等腰直角三角形，A（4，4） 。（1）若 C 为 x 轴正半轴上一动点，以 AC 为直角边作等腰直角ACD，ACD=90，连OD，求AOD 的度数；图1NMO CBA图2NMO CBA（2）过 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于 E，F 为 x 轴负半轴上一点，G 在 EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰 RtEGH，过 A 作 x 轴垂线交 EH 于点 M，连 FM，等式是
10、否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。1OFM4.在ABC 和DCE 中，AB=AC ，DC=DE ,BAC=EDC=90，点 E 在 AB 上，连AD，DFAC 于点 F。 试探索 AE、 AF、 AC 的数量关系；并求出 DAC 的度数。5如图：等腰 RtABC 和等腰 RtEDB ，AC=BC ，DE=BD，ACB EDB90，E为 AB 是一点，P 为 AE 的中点。连接 PC， PD；则 PC， PD 的位置关系是 ；数量关系是 ；并证明你的结论。当 E 在线段 AB 上变化时，其它条件不变，作 EFBC 于 F，连接 PF，试判断PCF 的形状；在点 E 运动过程中，PCF
11、是否可为等边三角形？若可以，试求 ACB 与EDB 的两直角边之比。FA DB CE(2)6.已知两个共一个顶点的等腰 RtABC，RtCEF ，ABC= CEF=90 ，连接 AF，M 是AF 的中点，连接 MB、ME（1）如图 1，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证： MBCF；（2）如图 1，若 CB=a，CE=2a，求 BM，ME 的长；（3）如图 2，当BCE=45时，求证：BM=ME7.如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)。点 N 为 OA 上一点，OMBN 于 M，且ONB=45+MON。（1）求证：BN 平分OBA；（2）求 的值；BNMO（3）若点 P 为第四象限内一动点，且APO=135，问 AP 与 BP 是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。8.已知：PA= ，PB=4，以 AB 为直角边作等腰直角三角形 ABD，且 P、 D 两点在直线2AB 的两侧.(1)如图，当APB =45时，求 AB 及 PD 的长;(2)当APB 变化，且其它条件不变时，求 PD 的最大值及相应 APB 的大小. DP BA
