1、高 等 代 数 6.6 子空间的交与和第六节 子空间的交与和第六章 线性空间Linear Space6.6 子空间的交与和1. 定义定义 1 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空间 , 称V1 V2 = | V1 且 V2 为 V1 , V2 的 交 .一、子空间的交6.6 子空间的交与和2. 性质定理 1 如果 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空间 , 那么它们的交 V1 V2 也是 V 的子空间 .证明 首先，由 0 V1 ， 0 V2 ， 可知 0 V1 V2 ， 因而 V1 V2 是非空的 . 其次 , 如果 , V1 V2 , 即 , V1 ， 而且 , V2 ，
2、+ V1 ， + V2 ，对数量乘积可以同样地证明 . 所以 V1 V2 是 V 的子空间 . 证毕那么因此 + V1 V2 .6.6 子空间的交与和3. 子空间的交的运算规律1) 交换律 V1 V2 = V2 V1 ；2) 结合律 (V1V2 ) V3 = V1(V2 V3 ) .可以定义多个子空间的交：它也是子空间 .6.6 子空间的交与和1. 定义定义 2 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空间 , 称为 V1 ， V2 的和 .V1 + V2 = | = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 二、子空间的和6.6 子空间的交与和2. 性质定理 2 如果 V1 , V2 是线
3、性空间 V 的两个子空间，那么它们的和 V1 + V2 也是 V 的子空间 .证明其次 , 如果 , = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 , = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,那么 + = (1 + 1 ) + (2 + 2 ) .首先，由 0 V1 ， 0 V2 ，可知 0 V1 + V2 ，因而 V1 + V2 是非空的 .V1 + V2 , 即6.6 子空间的交与和又因为 V1 , V2 是子空间，故有1 + 1 V1 ， 2 + 2 V2 .因此 + V1 + V2 .同理k = k1 + k2 V1 + V2 .所以， V1 + V2 是 V 的子空间 .证毕6.
4、6 子空间的交与和3. 子空间的和的运算规律1) 交换律 V1 + V2 = V2 + V1 ；2) 结合律 (V1 + V2 ) + V3 = V1+ (V2 + V3 ) .可以定义多个子空间的和：的向量组成的子空间.它是由所有表示成1 + 2 + + s , i Vi ( i = 1 , 2 , , s )6.6 子空间的交与和性质 1 设 V1 , V2 , W 都 是子空间，那么由W V1 与 W V2 可推出 W V1 V2 ； 而由W V1 与 W V2可推出 W V1 + V2 .性质 2 对于子空间 V1 , V2 , 以下三个论断是等价的：1) V1 V2 ； 2) V1 V2 = V1 ； 3) V1 + V2 = V2 .三、子空间的交与和的性质6.6 子空间的交与和
