1、三角函数知识点与常见习题类型解法1. 任意角的三角函数：（1 ） 弧长公式： R 为圆弧的半径， 为圆心角弧度数， 为弧长。alal（2 ） 扇形的面积公式： R 为圆弧的半径， 为弧长。lS21l（3 ） 同角三角函数关系式：倒数关系： 商数关系： ， cotanacosintasincot平方关系： 1ssi22（4 ） 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k /2+ 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性函 数xxsinxcosxtanxcotaaa2 cossincottn2.两角和与差的三角函数：（1 ）两角和与差公式：sincos)cos(a sincosin)si(aa注：公式的逆用或
2、者变形t1tantan（2 ）二倍角公式：acosisi 1cos2sin1sico2s22 aaa从二倍角的余弦公式里面可得出a2tn1t降幂公式： ， 2scs22ssi2（3 ）半角公式（可由降幂公式推导出）：， ，2cos1sinaa2o1a aasinco1icos1tn3.三角函数的图像和性质：（其中 ）zk三角函数 xysi xyxyt定义域 （-，+） （-，+） 2k值域 -1,1 -1,1 （-，+）最小正周期 2T2TT奇偶性 奇 偶 奇单调性2,k单调递增 3,单调递减2,)1(k单调递增 单调递减)2,(k单调递增对称性 2kx)0,( kx)0,2()0,2(k零值
3、点 kxkx最值点2kx1mayin，2；1maxy，)(kin无4.函数 的图像与性质：)sin(xAy（本节知识考察一般能化成形如 图像及性质）)si(xAy（1 ） 函数 和 的周期都是)sin(xyco2T（2 ） 函数 和 的周期都是)ta(A)t(xAy（3 ） 五点法作 的简图，设 ，取 0、 、 、 、 来求相应 的值sinxyt232x以及对应的 y 值再描点作图。（4 ） 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 （附上函数平移伸缩变x换）:函数的平移变换： 将 图
4、像沿 轴向左（右）平移 个单位)0()(axfyf )(xfya（左加右减） 将 图像沿 轴向上（下）平移 个单位)()(bff )(fyb（上加下减）函数的伸缩变换： 将 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的 倍)0()(wxfyxfy )(xfyw1（ 缩短， 伸长）1w10 将 图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 A 倍（)0()(Axfyxfy )(xfy伸长， 缩短）1A10函数的对称变换： ) 将 图像绕 轴翻折 180（整体翻折）()(xfyxfy)(xfyy（对三角函数来说：图像关于 轴对称） 将 图像绕 轴翻折 180（整体翻折）)()(ff )(f（对三角函数来说：图像关于 轴
5、对称）y 将 图像在 轴右侧保留，并把右侧图像绕 轴翻折到左侧（偶函数)()(xfyxfy)(xf y局部翻折） 保留 在 轴上方图像， 轴下方图像绕 轴翻折上去（局部翻动）)()(ff )(fyxx5、方法技巧三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如 1=cos2+sin 2=tanxcotx=tan45等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），= 等。2（3）降次与升次。 （4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。asin+bcos= sin(+ )，这里辅助角 所在
6、象限由 a、b 的符号确2ba定， 角的值由 tan = 确定。ab类题：1已知 tanx=2，求 sinx，cos x 的值解：因为 ，又 sin2xcos 2x=1，cosinta联立得 周1si2x解这个方程组得 .5cos2in,5cosinxx2求 的值)30s()1sin()690ta(48i2解：原式 )6cos()5si()372tan( 12inco81 .30cos)15sin(30ta)2i(63若 ，求 sinxcosx 的值,six解：法一：因为 ,2cosin所以 sinxcos x=2(sinxcosx)，得到 sinx=3cosx ，又 sin2xcos 2x=
7、1，联立方程组，解得周周10cos3in10cos3inxx所以 i法二：因为 ,2cosinx所以 sinxcos x=2(sinxcosx)，所以(sinxcosx) 2=4(sinxcosx )2，所以 12sinxcos x=48sin xcosx，所以有 103cosin4求证：tan 2xsin2x=tan2xsin 2x证明：法一：右边tan 2xsin 2x=tan2x(tan 2xcos2x)=tan2x(1cos 2x)=tan2xsin2x，问题得证法二：左边=tan 2xsin2x=tan2x(1cos 2x)=tan2xtan 2xcos2x=tan2xsin 2x，
8、问题得证5求函数 在区间 0，2上的值域)6sin(y解：因为 0x2 ，所以 由正弦函数的图象，,676,0得到 ,12)6sin(所以 y1，26求下列函数的值域(1)ysin 2xcosx +2； (2)y2sinx cosx(sinxcosx) 解：(1)y=sin 2xcosx 21 cos2xcosx2=(cos 2xcosx) 3，令 t=cosx，则 ,413)2(41(3)(, tttyt利用二次函数的图象得到 .4,1(2)y2sinx cosx(sinx cos x)=(sinxcos x)21(sinxcos x)，令 t=sinxcos x ， ，)4sin(x则 则
9、， 利用二次函数的图象得到2,t ,2ty .21,45y7若函数 y=Asin(x+)( 0，0) 的图象的一个最高点为 ，它到其相邻的最低点之间的),(图象与 x 轴交于(6 ，0)，求这个函数的一个解析式解：由最高点为 ，得到 ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与 x 轴交点的间隔是)2,(2A个周期，这样求得 ，T=16 ，所以4148又由 ，得到可以取)28sin(2 ).48sin(2.4xy8已知函数 f(x)=cos4x2sin xcosxsin 4x()求 f(x)的最小正周期； () 若 求 f(x)的最大值、最小值,0数 的值域ycos3in1解：() 因为 f(x)=
10、cos4x2sinxcosxsin4x(cos 2xsin 2x)(cos2xsin 2x)sin2x4sin()4sin(si2cosin)i2 所以最小正周期为 ()若 ，则 ，所以当 x=0 时，f(x )取最大值为 当 时，2,0x43,)(x ;1)sin(283xf(x)取最小值为 .1 已知 ，求（1） ；（2） 的值.tansinco22cos.sini解：（1） ；31tacsisico (2) 2222 cosinoinsi.3411cosi2说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到） ，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。2 求函数 的值域。2sin(s
11、inco)yxx解：设 ，则原函数可化为ico24t 周，因为 ，所以213()yt 2t当 时， ，当 时， ，tmaxy1min34y所以，函数的值域为 。34周3已知函数 。2()sini2fxxR周（1 ）求 的最小正周期、 的最大值及此时 x 的集合；()fx()fx（2 ）证明：函数 的图像关于直线 对称。f 8解： 2 2()4sini2sin(1sin)fxxxxcos)4(1)所以 的最小正周期 ，因为 ，()fxTxR所以，当 ，即 时， 最大值为 ；242k38k()fx2(2)证明：欲证明函数 的图像关于直线 对称，只要证明对任意 ，有()fxxR成立，()8fx因为
12、，2sin()2sin(2)cos284xxx，() fx所以 成立，从而函数 的图像关于直线 对称。()8fx()fx8x4 已知函数 y= cos2x+ sinxcosx+1 （xR）,13（1）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；（2）该函数的图像可由 y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y= cos2x+ sinxcosx+1= (2cos2x1)+ + （2sinxcosx）+141413= cos2x+ sin2x+ = (cos2xsin +sin2xcos )+435665= sin(2x+ )+264所以 y 取最大值时，只需 2x+
13、 = +2k,（kZ） ，即 x= +k,（kZ） 。2所以当函数 y 取最大值时，自变量 x 的集合为x|x= +k,kZ6（2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（i）把函数 y=sinx 的图像向左平移 ，得到函数 y=sin(x+ )的图像；6（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到函数 y=sin(2x+ )的图21 6像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变） ，得到函数 y= sin(2x+ )的21图像； （iv）把得到的图像向上平移 个单位长度，得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图像。4521645综上得到
14、y= cos2x+ sinxcosx+1 的图像。13历年高考综合题一，选择题1.（08 全国一 6） 是 （ ）2(sinco)1yxA最小正周期为 的偶函数 B最小正周期为 的奇函数22C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为 的奇函数2.（08 全国一 9）为得到函数 的图象，只需将函数 的图像（ ）cos3yxsinyxA向左平移 个长度单位 B向右平移 个长度单位66C向左平移 个长度单位 D向右平移 个长度单位553.(08 全国二 1)若 且 是，则 是 （ ）sin0taA第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角4.（08 全国二 10） 函数 的最大值为 （
15、 ）xxfcosin)(A1 B C D2235.（08 安徽卷 8）函数 图像的对称轴方程可能是 （ ）si()3yxA B C D6x12612x6.（08 福建卷 7）函数 y=cosx(xR)的图象向左平移 个单位后，得到函数 y=g(x)的图象，则 g(x)的2解析式为 ( )A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx7.（08 广东卷 5）已知函数 ，则 是 （ ）2()1cos)in,f R()fA、最小正周期为 的奇函数 B、最小正周期为 的奇函数C、最小正周期为 的偶函数 D、最小正周期为 的偶函数28.（08 海南卷 11）函数 的最小值和最大值分别为 （
16、）()cos2infxxA. 3，1 B. 2，2 C. 3， D. 2， 39.（08 湖北卷 7）将函数 的图象 F 向右平移 个单位长度得到图象 F，若 F的一条对si()yx称轴是直线 则 的一个可能取值是 （ ）,1xA. B. C. D. 5252121210.（08 江西卷 6）函数 是 （ ）sin()xfxA以 为周期的偶函数 B以 为周期的奇函数4 2C以 为周期的偶函数 D以 为周期的奇函数2 411.若动直线 与函数 和 的图像分别交于 两点，则 的最大值为 xa()sinfx()cosgxMN，（ ）A1 B C D22312.（08 山东卷 10）已知 ，则 的值是
17、（ ）4cossin657sin6A B C D2352354513.（08 陕西卷 1） 等于 （ ）sin0A B C D3212123214.（08 四川卷 4） ( )tancotsxx. . . .tanxicoscotx15.（08 天津卷 6）把函数 s()yR的图象上所有的点向左平行移动 3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是 （ ） A sin23yxR， B sin26xyR，C i， D i3，16.（08 天津卷 9）设 5sin7a， 2cosb， tan7，则 （ ）A abcB c C D bc17
18、.（08 浙江卷 2）函数 2(si)1yx的最小正周期是 （ ）A. 2 B. C. 32 D.218.（08 浙江卷 7）在同一平面直角坐标系中，函数 )20)(3cos(，xy的图象和直线 21y的交点个数是 （ ）A.0 B.1 C.2 D.4二，填空题19.（08 北京卷 9）若角 的终边经过点 ，则 的值为 (12)P， tan20.（08 江苏卷 1） 的最小正周期为 ，其中 ，则 = cos6fx5021.（08 辽宁卷 16）设 ，则函数 的最小值为 02，2sin1xy22.（08 浙江卷 12）若 3sin()5，则 co_。23.（08 上海卷 6）函数 f(x) si
19、n x +sin( +x)的最大值是 32三，解答题24. （08 四川卷 17）求函数 的最大值与最小值。2474sinco4scoy x25. （08 北京卷 15）已知函数 （ ）的最小正周期2 ()si3sin2fx0为 （）求 的值；（）求函数 在区间 上的取值范围()f0，26. （08 天津卷 17）已知函数 （ ）的最小值正周期2s(inco1)cofxxx,0R是 （）求 的值；2（）求函数 的最大值，并且求使 取得最大值的 的集合()fx()fxx27. （08 安徽卷 17）已知函数 ()cos2)sin()si()34f（）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程()fx
20、（）求函数 在区间 上的值域,1228. （08 陕西卷 17）已知函数 2()2sinco3sin44xxf（）求函数 的最小正周期及最值；()fx（）令 ，判断函数 的奇偶性，并说明理由3gf()gx1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C19. 20. 10 21. 22. 23.234325724. 解： 247sinco4scoyxx221sicsixx27ni1si6x由于函数 在 中的最大值为2zu1，max0最小值为2in16z故当 时 取得最大值 ，当 时 取得最小值sxy10sin21xy6【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；25. 解：（） 1cos23()sin2xfxx31sin2cos2xxsin26因为函数 的最小正周期为 ，且 ，()fx0所以 ，解得 21（）由（）得 1()sin26fx
