1、第五章 矩阵的对角化 5.1 向量的内积与正交矩阵 5.2 矩阵的特征值与特征向量 5.3 矩阵的对角化 5.4 应用举例 这一章的学习重点是什么？l 矩阵的对角化。l 对角矩阵是最简单的一类矩阵，它有许多其他矩阵所没有的好性质：l 还有比如，对角矩阵的秩就是对角线上非零元的个数等等。l 在实际应用中，我们希望矩阵具有一些好的性质，因为只有具有这些性质，一些问题才能比较简便地解决，甚至是才可能得到解决。举最简单的一个例子：现在需要求 A100。l 为了使对角矩阵的这些好性质在一般矩阵中也能多少体现一点，我们需要知道一般矩阵与对角矩阵之间的关系，甚至可能的话，把一般矩阵转化为对角矩阵。l 如何把
2、一般矩阵转化为对角矩阵？l 我们需要一些好用的工具来处理矩阵，这工具怎么找？l 矩阵可以看成向量组，而向量具有很好的性质，我们可以利用向量的性质找到解决问题的途径。5.1 向量的内积与正交矩阵一、向量的内积与正交向量组1内积的概念 定义：设有 n 维向量令 x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ，则称 x, y 为向量 x 和 y 的内积l 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数l 内积可用矩阵乘法表示：当 x 和 y 都是列向量时，x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量
3、， l 为实数）：l对称性： x, y = y, x内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量， l 为实数）：l对称性： x, y = y, xl线性性质： l x, y = lx, y；x + y, z = x, z + y, z内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量， l 为实数）：l对称性： x, y = y, xl线性性质： l x, y = lx, y；x + y, z = x, z + y, zl当 x = 0（零向量） 时， x, x = 0；当 x 0（零向量） 时， x, x 0x, x = x12 + x22 + + xn2 0内积具有下列性质
4、（其中 x, y, z 为 n 维向量， l 为实数）：l对称性： x, y = y, xl线性性质： l x, y = lx, y；x + y, z = x, z + y, z l当 x = 0（零向量） 时， x, x = 0；当 x 0（零向量） 时， x, x 0l柯西不等式：x, y2 x, x y, y向量的长度 定义：令把 | x |称为 n 维向量 x 的 长度 （或 范数 ）当 | x | = 1 时，称 x 为 单位向量 向量的长度具有下列性质：l 非负性：当 x = 0（零向量） 时， | x | = 0；当 x 0（零向量） 时， | x | 0l 齐次性： | l x | = | l | | x |
