1、第 1 页 共 9 页概率论期中测试题参考解答1、 （10 分）设 表示三个随机事件，试用事件 的运算分别表ABC、 、 ABC、 、示下列各事件：(1) 不发生而 都发生；、表示为：(2) 三个事件至少有一个发生；ABC、 、表示为： ；或表示为： ABCABC(3) 三个事件至多有一个发生；、 、表示为： B(4) 恰有两个不发生；AC、 、表示为： ；A(5) 都不发生；、 、表示为： B(6) 三个事件不少于两个发生；AC、 、表示为： ；A或表示为： BC(7) 同时发生；B、 、表示为：(8) 三个事件不多于两个发生；AC、 、表示为： ；或表示为： B或表示为： ACBACB(9
2、) 不全发生；AC、 、表示为： ；第 2 页 共 9 页或表示为： ABC或表示为： ABCABC(10) 恰有一个发生.、 、或表示为：2、 （14 分）已知 求：(1) ；(2)()0.6,().3,()0.6,PABP()PAB；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) .()PABA)解：（1）因为 ，所以有.3()()()；()(010.34.01（2） )()()(.6)01.3PABPB（3） ；( .9（4） ；)()1()10.B（5） ；0.(6PA（6） ；()().3)14PAB（7） ()()(APABPB()BA()0.167P3、 （8 分）一个盒子中有
3、个球，其中 个黑球 个红球，求下列事件的概率：14(1) =“从盒子中任取一球，这个球是黑球” ；(2) =“从盒子中任取两球，刚A B好一黑一红” ；(3) =“从盒子中任取两球，都是红球” ；(4) =“从盒子中任CD取五球，恰好有两个黑球”.第 3 页 共 9 页解：（1） ；（2） ；（3） ；140()5CPA146208()5CPB2610()3CP（4）2346510()4、 （3 分）设甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为 ，求目标被命中的概率.12,解：设 =“甲命中目标 ”； =“乙命中目标”； =“丙命中目标”； =“目标被1A2A3AA击中”。则
4、，且 独立。故有，2313,1 2123()()()PPP23(/89A5、 （6 分）设某批产品中,甲、乙、丙三厂生产的产品分别占 45%、35%和 20%，各厂的产品的合格品率分别为 96%、98%、95%.现从中任取一件，(1) 求恰好取到不合格品的概率；(2)取到的不合格品是由甲厂生产的概率.解：设 =“任取一件产品，恰为不合格品”； =“任取一件产品，恰为第 条AiBi流水线生产” ， =甲，乙，丙。i， ， ， ，()0.45PB甲 ()0.35PB乙 ()0.2P丙 (|)0.4PA甲， 。|2乙 |丙（1）由全概率公式有： ()(|)(|)(|)ABB甲 甲 乙 乙 丙 丙=0
5、.45+.302.5=0.3（2）由贝叶斯公式有： ()(|).4(|) .1429PBPA甲 甲 甲甲6、 （8 分）在电源电压不超过 200 伏,在 200240 伏和超过 240 伏三种情形下,第 4 页 共 9 页某种电子元件损坏的概率分别为 0.1,0.001 和 0.2.假设电源电压 X,试求：(1)该电子元件损坏的概率；(2)在该电子元件损坏时，电源)250(N电压在 200240 伏的概率 . (注： )781.0)解：设 =“该电子元件损坏”； =“电源电压不超过 200 伏”， =“电源电压A1B2B在 200240 伏 ”， =“电源电压超过 240 伏”。3已知 ， ，
6、(|)0.1PB(|)0.PA2(|)0.2PA3，2.85X1 1(.7810.29，4()()()56225 2，40401(.PBPX3（1）由全概率公式有： ()(|)(|)(|)ABABPAB112233=0.29.+5760.1+.90.=641（2）由贝叶斯公式有： ()(|).572.(|) .893PBA2227、 （6 分）设在一次试验中，事件 发生的概率为 ，现进行 次独立试验，Apn试求:(1) 恰好发生两次的概率；(2) 至少发生两次的概率；(3) 至多发生两A次的概率.解：设 表示 次独立试验中事件 发生的次数，易知 。Xn (,)Xbnp（1） ； 22()(1)
7、nPCp（2） ；2niii或 0011()1(0)(1)()()nnnXPXCpp；nnp第 5 页 共 9 页（3） ；20()(1)ininiPXCp8、 （6 分）从 37 五个整数中任取三个不同的数，设为 ，记123,x，求：(1) 的分布列；(2) 的分布函数； (3)123min,xXX.4解：（1）随机变量 的可能取值为： 3,4,5 且有； ； 。所以 的分24356()10CPX235(4)10CP2351()0CPX布列为： X3 4 56/10 3/10 1/10（2）分布函数 ；06/1()945xFx（3） ；()(3)()9/10PXPX9、 （6 分）设随机变量
8、 的分布函数为 ，求：X,2.31()05,.71,xFxx（1） 的分布列；（2） ；（3） .X()E()VarX解：（1） 的可能取值为分布函数 的间断点：-2,1,3,7；Fx；()(10).0.PF；532；337X；(7)().所以 的分布列为：-2 1 3 7P0.3 0.2 0.2 0.3（2） ；()20.31.0.27.EX第 6 页 共 9 页（3） ；22222()0.31.0.7.319EX。()96VarEX10、 （3 分）随机变量 服从泊松分布，且 ，求 .()()PX(2)PX解：因为 服从泊松分布，即 ，故 的分布列为：)，()!kPXe因为 ，所以有 ，得
9、 ，所以0(1)01!e12()!e11、 （14 分）设随机变量 的密度函数为 ，(1)确定常X,03()24,kxf其 它数 ；(2)求随机变量 的分布函数；(3)求 ；（4）求 ；k 712PX()EX（5）求 .()VarX解：（1）由 ， ；故34031()(2)xfxdkd6k,6()2,340xf其 他（2） 的分布函数 ，X()()xFxPXftd（i）当 时， ；0x0xftd（ii）当 时， ；320()()61x xtftd（iii ）当 时，4x第 7 页 共 9 页；20303()()(2)364x xttxFftddd（iv）当 时，4；034034()()()01
10、x xttft t故21()344xFxx（3） ；77322113411()()68xPXfdd或 。()4F（4） ；3037()()(2)63xxEXxfdd（5） ；34222036f。2271()(68VarXEX12、 （3 分）设随机变量 的分布列如下，试求 的分布列.2YX101P0.3.2.30.解：因为： X21012P0.3.30.第 8 页 共 9 页2YX2 0 0 2 6所以 的分布列为： Y0 2 6P0.3 0.6 0.113、 （8 分）设随机变量 的密度函数为 ，求：（1）随X,03()9Xxf其 它机变量 的密度函数；（2）求 ；（ 3）求 .8Y()EY
11、()VarY解：（1）分布函数法：记 的分布函数与密度函数分别为： ， ；则有：X()YFy()Yf82()(28)()Y XyFyPyPXxd（i）当 ，即 时80；822()()0yyYXFfxdx（ii）当 ，即 时0314；8 8202 20(8)()()936y yYXxyfxdd（iii ）当 ，即 时314；8 8032 203()() 019y yYXxFfxddx 故 ，28()14361Yyy 814()Y yfyF其 它公式法：因为 在 上严格递增；()28ygx(,)第 9 页 共 9 页其反函数为 ，且 ，故有：8()2yxh1()2hy|03()XYffy其 它2818481492100yy其 它其 它（2） ；30()()9XExfdx；28)821YE（3） ；30()(Xfd；222)95Var。()(8()4()1248YVarrX14、 （5 分）设 为非负连续型随机变量且数学期望存在，证明：， .0x()EPx证明：记 的密度函数为 ，则 有X()p0()()1()xxxPtdtptdx1()1()()1t EXpdtpdxx
