1、1一、等积变换模型等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。如上图 12:Sab夹在一组平行线之间的等积变形，如下图 ；ACDBS=反之，如果 ，则可知直线 平行于 。ACDBS ABCD正方形的面积等于对角线长度平方的一半；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比。 如图，在 中， 分别是 上的点(如图 1)或 在 的延长线上， 在 上(
2、 如ABC ,DE,ABCDBAEAC图 2)，则 :():()S 五大模型1S22图 1 图 2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： 或者 1243:S1324SS1243:AOCSS蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) 213:Sab ；24:ab梯形 的对应份数为 。23四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ；ADEAFBCG 。2:AS 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的
3、三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。五、燕尾定理模型SABG SAGC SBGE SEGC BE EC:SBGA SBGC SAGF SFGC AF FCSAGC SBCG SADG SDGB AD DB:典型例题精讲 例 1 一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的 0.15 倍，黄色三角形的面积是 21 平方厘米。问：长方形的面积是_平方厘米。例 1 图4例 2 如图，三角形田地中有两条小路 AE 和
4、 CF，交叉处为 D，张大伯常走这两条小路，他知道DFDC，且 AD2DE 。则两块地 ACF 和 CFB 的面积比是_。例 2 图【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？举一反三图【拓展】如图，已知长方形 ADEF 的面积 16，三角形 ADB 的面积是 3，三角形 ACF 的面积是 4，那么三角形 ABC 的面积是多少？ 拓展图5例 3 如图，将三角形 ABC 的 AB 边延长 1 倍到 D，BC 边延长 2 倍到 E，CA 边延长 3 倍到 F。如果三角形 ABC 的面积等于 1，那么三角形 DEF
5、的面积是_。例 3 图【拓展】如图，在ABC 中，延长 AB 至 D，使 BDAB,延长 BC 至 E，使 ，F 是 AC 的中点，12CB若ABC 的面积是 2，则DEF 的面积是多少？ 拓展图例 4 如图，在ABC 中，已知 M、N 分别在边 AC、BC 上，BM 与 AN 相交于 O，若AOM、ABO和BON 的面积分别是 3、2、1，则MNC 的面积是_。 例 4 图6【秒杀题】四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O（如图所示） 。如果三角形 ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的 ，且 AO2 ，DO3, 那么 CO 的长度是 DO 的长度的_倍。 13秒杀题图例
6、5 如图，四边形 EFGH 的面积是 66 平方米，EA AB，CB BF，DCCG，HD DA，求四边形ABCD 的面积。 例 5 图例 6 如右图长方形 ABCD 中，EF16，F9，求 AG 的长。 例 6 图7【铺垫】图中四边形 ABCD 是边长为 12cm 的正方形，从 G 到正方形顶点 C、D 连成一个三角形，已知这个三角形在 AB 上截得的 EF 长度为 4cm，那么三角形 GDC 的面积是多少？铺垫图例 7 如图，长方形 ABCD 中，E 为 AD 中点，AF 与 BE、BD 分别交于 G、H，已知AH5cm，HF3cm ，求 AG。例 7 图例 8 如右图，三角形 ABC 中
7、，BD DC49，CEEA43，求 AFFB。 例 8 图【拓展】如图，三角形 ABC 的面积是 1，BD DEEC， CFFG GA，三角形 ABC 被分成 9 部分，请写出这 9 部分的面积各是多少? 拓展图8例 9 如右图，ABC 中，G 是 AC 的中点，D 、E、F 是 BC 边上的四等分点，AD 与 BG 交于 M，AF与 BG 交于 N，已知ABM 的面积比四边形 FCGN 的面积大 7.2 平方厘米，则ABC 的面积是多少平方厘米？例 9 图例 10 如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别在 BC 与 CD 上，且 CE2BE，CF 2DF ，连接BF，DE，相交于点 G，过 G 作 MN，PQ 得到两个正方形 MGQA 和正方形 PCNG，设正方形MGQA 的面积为 S1，正方形 PCNG 的面积为 S2，则 S1： S2_。例 10 图
