1、- 1 -1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)当 x=_时,函数 2xy取得极小值.(2)由曲线 lny与两直线 e1及 0所围成的平面图形的面积是_. 1x(3)与两直线 yt及 21xyz都平行且过原点的平面方程为_. 2zt(4)设 L为取正向的圆周 29,xy则曲线积分2(2)(4)xyddA= _.(5)已知三维向量空间的基底为123(,0)(1,)(0,1)则向量 (2,0)在此基底下的坐标是_.二、(本题满分 8 分)求正的常数 a与 ,b使等式2001lim1sinxxtd
2、a成立.三、(本题满分 7 分)(1)设 f、 g为连续可微函数 ,(,)(),ufxyvgxy求 ,.uvx(2)设矩阵 A和 B满足关系式 2,=AB其中301,4求矩阵 .四、(本题满分 8 分)求微分方程 26(9)1yay的通解,其中常数 0.a五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)- 2 -(1)设 2()lim1,xaf则在 xa处(A) ()f的导数存在 ,且 ()0f(B) ()fx取得极大值(C) ()fx取得极小值 (D) ()f的导数不存在(2)设 ()f为已知连续函
3、数 0,(),stIfxd其中 0,ts则 I的值(A)依赖于 s和 t (B)依赖于 、 t和x(C)依赖于 、 x,不依赖于 s(D)依赖于 s,不依赖于 t(3)设常数 0,k则级数 21()nk(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与 k的取值有关 (4)设 A为 n阶方阵，且 的行列式 |0,aA而 *是 的伴随矩阵，则 *|等于(A)a (B) 1a(C) 1n (D) n六、 （本题满分 10 分）求幂级数 112nnxA的收敛域，并求其和函数. 七、 （本题满分 10 分）求曲面积分 2(81)()4,Ixydzydzxy其中 是由曲线 3()0 f绕 轴旋转
4、一周而成的曲面,其法向量与 y轴正向的夹角恒大于 .2 - 3 -八、 （本题满分 10 分）设函数 ()fx在闭区间 0,1上可微,对于 0,1上的每一个 ,x函数()f的值都在开区间 )内 ,且 ()fx1,证明在 ()内有且仅有一个,x使得 .x九、 （本题满分 8 分）问 ,ab为何值时,现线性方程组 1234123401()xxab有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件 A发生的概率为 p现进行 n次独立试验,则A至少发生一次的概率为_; 而事件 A至多发生一次
5、的概率为_.(2)有两个箱子,第 1 个箱子有 3 个白球,2 个红球, 第 2 个箱子有 4 个白球,4 个红球.现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里,再从第 2个箱子中取出 1 个球,此球是白球的概率为_.已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为_.(3)已知连续随机变量 X的概率密度函数为 21()e,xf则X的数学期望为_, 的方差为_.十一、 （本题满分 6 分）设随机变量 ,Y相互独立,其概率密度函数分别为()Xfx10 其, ()Yfy e0y,求 2Z的概率密度函数.- 4 -1988 年全国硕士研究生入学统一考试数
6、学(一)试卷一、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求幂级数 1()nnx的收敛域.(2)设 2()e,()xffx且 ()0,求 ()x及其定义域.(3)设 为曲面 21yz的外侧,计算曲面积分333.IxdyzxdA二、填空题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.把答案填在题中横线上)(1)若 21)lim(),txxftt则 ()ft= _.(2)设 (连续且30,d则 7=_.(3)设周期为 2 的周期函数,它在区间 (1,上定义为 ()fx 2x 10x,则的傅里叶 ()Fourie级数在 x处收敛于_.(4)设 4 阶矩阵 234234,AB其中
7、23,均为 4 维列向量,且已知行列式 1A则行列式B= _三、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 )fx可导且 01(),2fx则 0x时 ,()fx在 0处的微分 dy是(A)与 等价的无穷小 (B)与 同阶的无穷小(C)比 低阶的无穷小 (D)比 高阶的无穷小(2)设 ()yfx是方程 240y的一个解且00(),fx则函数 ()fx在点 处(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少(3)设空间区域22221:,0:,0,xyzRxyzR
8、xyz则(A) 124dv (B)12y(C) 12zvz(D)124xydxy(4)设幂级数 1()nna在 1x处收敛,则此级数在 2x处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定 (5) 维向量组 12,(3)sn 线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数 12,sk 使 120skk- 5 -(B) 12,s 中任意两个向量均线性无关(C) s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D) 12,s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分 6 分)设 (,xyuyfg其中函数 f、 g具有二阶连续导数,求22.xy五、(本题满分 8 分)设函数 (
9、yx满足微分方程 32e,xy其图形在点(0,1)处的切线与曲线 21x在该点处的切线重合 ,求函数 ().yx六、 （本题满分 9 分）设位于点 (0,1)的质点 A对质点 M的引力大小为 2(0kr为常数,r为 A质点与 之间的距离 ),质点 沿直线 yx自 ,)B运动到 (),O求在此运动过程中质点 对质点 的引力所作的功 .七、 （本题满分 6 分）已知 ,APB其中1010,2,P求 5.A- 6 -八、 （本题满分 8 分）已知矩阵201xA与201yB相似.(1)求 x与 .y(2)求一个满足 1P的可逆阵 .P九、 （本题满分 9 分）设函数 ()fx在区间 ,ab上连续,且在
10、 (,)ab内有 ()0,fx证明:在(,)ab内存在唯一的 使曲线 yfx与两直线 ya所围平面图形面积 1S是曲线 ()f与两直线 (),f所围平面图形面积2的 3 倍.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件 A出现的概率相等,若已知 A至少出现一次的概率等于 19,27则事件 在一次试验中出现的概率是_.(2)若在区间 (0)内任取两个数 ,则事件” 两数之和小于 65”的概率为_.(3)设随机变量 X服从均值为 10,均方差为 0.02 的正态分布,已知21()e,(.)0938,uxd则 落在区间 9.5,0内
11、的概率为_.十一、 （本题满分 6 分）设随机变量 X的概率密度函数为 21(),)Xfx求随机变量31Y的概率密度函数 .Yfy- 7 -1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)已知 (3)2,f则 0()(lim2hff= _.(2)设 x是连续函数,且 10),fxftd则()f=_.(3)设平面曲线 L为下半圆周 21,yx则曲线积分2()Lxyds=_.(4)向量场 ivu在点 (,0)P处的散度 divu=_.(5)设矩阵3114,00AI则矩阵1(2)I=_.二、选择题(本题共
12、5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当 0x时,曲线 1sinyx(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面 24zxy上点 P处的切平面平行于平面210,xy则点的坐标是(A) (,) (B) (1,2) (C) (D) (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A) 123cy(B)()(C) 12123)cycy(D)(4)设函数 2),0,fx而1()sin,
13、Sxb其中02()i,12,3nfxdn则 1()2S等于(A) (B) 4 (C) 14 (D) (5)设 A是 n阶矩阵,且 的行列式 0,A则 中- 8 -(A)必有一列元素全为 0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)设 (2)()zfxygx其中函数 (ft二阶可导 ,()guv具有连续二阶偏导数,求 .(2)设曲线积分 2()cxydy与路径无关,其中 ()x具有连续的导数,且 (0),计算(1,)20xydy的值.(3)计算三重积分 (),xzdv
14、其中 是由曲面 2zxy与21zxy所围成的区域.四、(本题满分 6 分)将函数 1arctnxfx展为 的幂级数.五、(本题满分 7 分)设 0)sin(),xfxtfd其中 f为连续函数,求 ().fx- 9 -六、 （本题满分 7 分）证明方程 0ln1cos2exxd在区间 (0,)内有且仅有两个不同实根.七、 （本题满分 6 分）问 为何值时,线性方程组 13x24136x有解,并求出解的一般形式.八、 （本题满分 8 分）假设 为 n阶可逆矩阵 A的一个特征值,证明(1) 1为 的特征值.(2) 为 的伴随矩阵 *的特征值 .九、 （本题满分 9 分）设半径为 R的球面 的球心在定
15、球面 22(0)xyza上,问当为何值时,球面 在定球面内部的那部分的面积最大 ?- 10 -十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件 A的概率 ()0.5,P随机事件 B的概率()0.6PB及条件概率 |8B则和事件 A的概率A=_.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为 0.6 和 0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_.(3)若随机变量 在 (1,6)上服从均匀分布,则方程 210x有实根的概率是_.十一、 （本题满分 6 分）设随机变量 X与 Y独立,且 服从均值为 1、标准差(均方差)为 2的正态分布,而 服从标准正态分布.试求随机变量 23ZXY的概率密度函数.
