1、12016 年考研数学二真题一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的可能取值范0x)(lnx211)cos(x围是（ ）（A） （B ） （C ） （ D）),(2),(),(12),(2102下列曲线有渐近线的是（A） （B） （C） （D ）xysinxysin2 xysinxy12sin3设函数 具有二阶导数， ，则在 上（ ）)(f ffg)()(10,0（A ）当 时， （B ）当 时，0x)xf x)(xgf（C）当 时， （D）当 时，)(f()(f4曲线 上对应于 的点处的曲率半径是（ ）1472ty,1t（） （） (）
2、（）5001055设函数 ，若 ，则 （ ）xfarctn)()()(xf20xlim（） （） （） （） 1321316设 在平面有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足),(yxu及 ，则（ ） 0202u（A） 的最大值点和最小值点必定),(yx都在区域 D 的边界上； 2（B） 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部；),(yxu（C） 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；（D） 的最小值点在区域 D 的内部，最大值点在区域 D 的边界上),(y7行列式 等于dcba0（A） （B） （C） （D ）2)(2)(bcad22cbd
3、a2cbda8设 是三维向量，则对任意的常数 ，向量 ， 线性无关是向321, lk,31k32l量 线性无关的,（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件（C ）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）9 125dx10设 为周期为 4 的可导奇函数，且 ，则 )(f 2012,),()xxf )(7f11设 是由方程 确定的函数，则 ),(yxz4722zyeyz 21,|dz12曲线 的极坐标方程为 ，则 在点 处的切线方程为 LrL2,),(r13一根长为 1 的细棒位于 轴的区间 上，若其线密度
4、，则该细棒x10, 12x)(的质心坐标 x314设二次型 的负惯性指数是 1，则 的取值范围323121321 4xaxxf ),( a是 三、解答题15 （本题满分 10 分）求极限 )ln(limxdtetxt12116 （本题满分 10 分）已知函数 满足微分方程 ，且 ，求 的极大值和极小)(yy1202)()(xy值17 （本题满分 10 分）设平面区域 计算0412yxyyxD.,|),( Ddxy)sin(218 （本题满分 10 分）设函数 具有二阶连续导数， 满足 若)(uf )cos(yefzx xxeyzyxz224)cos(，求 的表达式00,)(uf19 （本题满分
5、 10 分）设函数 在区间 上连续，且 单调增加， ，证明：)(,xgfba.)(xf 10)(xg（1 ） ；xdta,0（2 ） batg dgffb )()()(20 （本题满分 11 分）设函数 ，定义函数列10,)(xf， ，)(f1 )(xf12 ),()(,xffnn1设 是曲线 ，直线 所围图形的面积求极限 nSxyn0y, Slim21 （本题满分 11 分）4已知函数 满足 ，且 ，求曲线),(yxf)(12yf yyfln)()(),21所成的图形绕直线 旋转所成的旋转体的体积0, 22 （本题满分 11 分）设 ，E 为三阶单位矩阵302114A（1 ） 求方程组 的一
6、个基础解系；X（2 ） 求满足 的所有矩阵B23 （本题满分 11 分）证明 阶矩阵 与 相似n1 n021 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、下列反常积分中收敛的是（）（A） （B） (C) (D)2dx2lnxd21lndx2xe2、函数 在 内（）20si()lim(1)xttf(,)（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点53、设函数 ，若 在 处连续，则（）1cos,0()xf(,0)
7、()fx0（A） (B) (C) (D)0224、设函数 在 连续，其二阶导函数 的图形如右图所示，则曲线()fx,)()fx的拐点个数为（）y（A）0 (B)1 (C)2 (D)35、设函数 满足 ，则 与 依次是（）(uv)f， 2(,)yfx1uvf1uvf（A） ,0 (B)0， （C） - ,0 (D)0 ,-1216、设 D 是第一象限中曲线 与直线 围成的平面区域，函数2,4xy,3yx在 D 上连续，则 =（）(,)fxy()Dfd（A） （B）12sin42cos,indfrr 1sin224(cos,in)frdr（C ） （D）13sin42(,i)fd 1sin234(
8、,i)f7、设矩阵 A= ，b= ,若集合 = ，则线性方程组 有无穷多个解的21a21d1,Axb充分必要条件为（）（A） (B) (C) (D) ,ad,ad,ad8、设二次型 在正交变换 下的标准形为 其中 ，123(,)fxxPy2213y123P=(e,)若 ，则 在正交变换 下的标准形为（ ）3,Qe123(,)f(A) (B) (C) (D) 221y2y2213y2213y二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.69、设231arctn,txdyxy则10、函数 在 处的 n 阶导数2()f0()0nf11、设函数 连续， 若 ，
9、，则x20()(,xftd1()5(1)f12、设函数 是微分方程 的解，且在 处 取值 3，则 =yy0xy()yx13、若函数 由方程 确定，则 =(,)zx23xze(,)dz14、设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，-2,1 ， ，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式2BA=B三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、 （本题满分 10 分）设函数 ， ，若 与 在 是等价无穷小，()ln(1)sinfxxb2()gxk()fxg0x求 的值。,abk16、 （本题满分 10 分）设 ，D 是由曲线段 及直线
10、 所形成的平面区域， ，0Asin(0)2yAx,2yox1V分别表示 D 绕 X 轴与绕 Y 轴旋转所成旋转体的体积，若 ，求 A 的值。2V 1V得： 817、 （本题满分 10 分）已知函数 满足 ， ， ，求(,)fxy“(,)2(1)xxyfe(,0)1xfe2(0,)fy的极值。,f18、 （本题满分 10 分）计算二重积分 ，其中()Dxyd22(,),Dxyyx19、 （本题满分 10 分）7已知函数 ，求 零点的个数。211()xxftdt()fx20、 （本题满分 11 分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初
11、始温度为 的物体在 的恒温介质中冷却，30min 后该物体降至20C20，若要将该物体的温度继续降至 ，还需冷却多长时间？30C21、 （本题满分 11 分）已知函数 在区间 上具有 2 阶导数， ， ， ，设fx+a， fa0fxfx，曲线 在点 处的切线与 轴的交点是 ，证明bayf,bfx， 0ab22、 （本题满分 11 分）设矩阵 且 .10aA3AO(1) 求 的值；(2) 若矩阵 满足 ， 为 3 阶单位阵，求 .X22XEX2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，
12、请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、当 时，若 ， 均是比 高阶的无穷小，则 的取值范围是（ 0xln(12)x1(cos)x）（A） （B） （C） （D）(2,),21(0,)22、下列曲线中有渐近线的是（ ）（A） （ B）sinyxsinyx8（C） （D）1sinyx21sinyx4、曲线 上对应于 的点处的曲率半径是（ ）27,4tt（A） （B） （C） （D）10510105105、设函数 ，若 ，则 （ ）()arctnfx()fxf20limx（A） （ B） （C） （D）123136、设函数 在有界闭区域 上连续，在 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足(,)u
13、xy及 ，则（ ）2020（A） 的最大值和最小值都在 的边界上取得(,)uxyD（B） 的最大值和最小值都在 的内部取得（C） 的最大值在 的内部取得， 的最小值在 的边界上取得(,)xy(,)uxyD（D） 的最小值在 的内部取得， 的最大值在 的边界上取得uD7、行列式 （ ）0abcd（A） （B）2()ab2()adbc（C） （D）dc28、设 为 3 维向量，则对任意常数 ，向量组 线性无关是向量组12,kl1323,kl线性无关的（ ）3（A）必要非充分条件9（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.
14、请将答案写在答题纸指定位置上.9、 .125dx10、设 是周期为 的可导奇函数，且 ，则)(xf4 2,0)1(2)xxf )7(f11、设 是由方程 确定的函数，则 .(,)zy2274yzez1(,)2dz12、曲线 的极坐标方程是 ，则 在点 处的切线的直角坐标方程是 .LrL(,),)2r13、一根长为 1 的细棒位于 轴的区间 上，若其线密度 ，则该细棒的x0,1 2()1xx质心坐标 .x14、设二次型 的负惯性指数为 1，则 的取值范围是 .21231132(,)4fxaxa三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演
15、算步骤.15、 （本题满分 10 分）求极限12()limlnxtedt1016、 （本题满分 10 分）已知函数 满足微分方程 ，且 ，求 的极大值与极小值.()yx21xy(2)0y()yx17、 （本题满分 10 分）设平面区域 ，计算 .2(,)14,0D2sin()Ddyx18、 （本题满分 10 分）设函数 具有 2 阶连续导数， 满足 .()fu(cos)xzfey2 2(4cos)xxzzeyxy若 ， ，求 的表达式.0f0f)fu19、 （本题满分 10 分）设函数 ， 在区间 上连续，且 单调增加， .()fxg,ab()fx0()1gx证明：（） （I ） ， ；xdtxa)(0,ba（II） badtgbgff)(20、 （本题满分 11 分）设函数 ， .定义数列()1xf0,1， ， ， ，1x2()()ffx 1()()nnfxfx记 是由曲线 ，直线 及 轴所围平面图形的面积，求极限 .nSny limnS21、 （本题满分 11 分）已知函数 满足 ，且 .求曲线 所(,)fxy2(1)fy2(,)1()lnfyy(,)0fxy围图形绕直线 旋转所成旋转体的体积.1
