1、立体几何垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点：由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1（ 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）等腰（等边）三角形中的中线 1菱形（正方形）的对角线互相垂直 勾股定理中的三角形 2 31:1:2 的直角梯形中 利用相似或全等证明直
2、角。 4 5例：在正方体 中，O 为底面 ABCD 的中心，E 为 ,求证：1ABCD 1C1AOE（2（ 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图）例 1 在正四面体 ABCD 中，求 证 ACBD变式 1 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，已知P60,2,2,3ABDAAB证明： ；B变式 2 如图，在边长为 2的正方形 ABCD中，点 E是 AB的中 EADFG点，点 F是 BC的中点，将AED, DCF 分别沿 ,DEF折起，使 ,AC两点重合于 .求证: ADE；变式 3 如图，在三棱锥 中， 是等边三角形，PABCPPAC=PBC=90 证明：ABPC类型二：线面垂直证明 方法
3、 利用线面垂直的判断定理 1例 2：在正方体 中，O 为底面 ABCD 的中心，E 为 ,求证：1ABCD 1C1OE平 面变式 1：在正方体 中，,求证：1ABCD11ACBD平 面变式 2：如图：直三棱柱 ABCA 1B1C1 中， AC=BC=AA1=2，ACB=90.E 为 BB1的中点，D 点在 AB 上且 DE= .3求证：CD平面 A1ABB1；变式 3：如图，在四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，DACOBEPCBADE2,2.CABDABD求证： 平面 BCD；O变式 4 如图，在底面为直角梯形的四棱 锥 中，PABCD， ， 平面 ， ， ，ADBC
4、90PA323AB6C求证： 平面1利用面面垂直的性质定理 2例 3：在三棱锥 P-ABC 中，, ， 。PABC底 面 PABC面 面 PAC求 证 ： 面方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。变式 1, 在四棱锥 ，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAB 是等腰三角形，且PABCD,求证：面 底 面 PAB面变式 2：类型 3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直 )例 1 如图，已知 平面 ， 平面 ， 为等边三角形，ABCDEACD， 为 的中点.2ADEF(1) 求证： 平面 ；/E(2) 求证：平面 平面 ；例 2 如图，在四棱锥 中， 底面 ，PABCDABCD， ， 是 的
5、中点60ABDCAB， E（1）证明 ； （2）证明 平面 ；ED变式 1 已知直四棱柱 ABCDABC D的底面是菱形， 60ABC，E 、 F 分别是棱 CC与 BB上的点，且 EC=BC=2FB=2（1）求证：平面 AEF平面 AACC ；举一反三ABC DEF D1.设 M 表示平面，a、b 表示直线，给出下列四个命题： bM bM./ baMb/a/其中正确的命题是 ( )A. B. C. D.2.下列命题中正确的是 ( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面
6、，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点.现在沿 DE、DF 及 EF把ADE、CDF 和BEF 折起，使 A、B、C 三点重合，重合后的点记为 P.那么，在四面体 PDEF 中，必有 ( )A.DP平面 PEF B.DM平面 PEF C.PM平面 DEF D.PF平面 DEF4.设 a、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a、b 都相交B.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一个平面
7、和 a、b 都垂直C.过 a 一定可以作一个平面与 b 垂直D.过 a 一定可以作一个平面与 b 平行5.如果直线 l,m 与平面 , 满足:l =,l,m 和 m,那么必有 ( )A. 且 lm B. 且 m C.m 且 lm D. 且 6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若 BC=1,AC=2,PC=1，则P 到 AB 的距离为 ( )A.1 B.2 C. D.52537.有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面 的一条斜线 l 有且仅有一个平面与 垂直； 异面直线 a、b 不垂直，那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A
8、.0 B.1 C.2 D.38.d 是异面直线 a、b 的公垂线，平面 、 满足 a，b，则下面正确的结论是 ( )A. 与 必相交且交线 md 或 m 与 d 重合B. 与 必相交且交线 md 但 m 与 d 不重合C. 与 必相交且交线 m 与 d 一定不平行D. 与 不一定相交9.设 l、m 为直线， 为平面，且 l，给出下列命题 若 m，则 ml；若 ml ，则 m；若 m，则 ml；若 ml，则 m，其中真命题的序号是 ( )A. B. C. D.第 3 题图10.已知直线 l平面 ，直线 m 平面 ，给出下列四个命题：若 ，则 lm；若 ，则 lm；若 lm，则 ；若 lm，则 .
9、其中正确的命题是 ( )A.与 B.与 C.与 D.与二、思维激活11.如图所示，ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面 的同侧，它们在 内的射影分别为 A，B，C ，如果ABC是正三角形，且AA 3cm，BB 5cm，CC4cm，则ABC 的面积是 . 12.如图所示,在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 时,有A1CB 1D1(注: 填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)13.如图所示，在三棱锥 VABC 中，当三条侧棱 VA、VB、VC 之间满足条件 时，有 VCAB .(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14
10、.如图所示,三棱锥 V-ABC 中,AH侧面 VBC,且 H 是VBC 的垂心，BE 是 VC 边上的高.(1)求证:VCAB;(2)若二面角 EABC 的大小为 30,求 VC 与平面 ABC所成角的大小.15.如图所示，PA矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点.(1)求证：MN平面 PAD.(2)求证：MNCD .(3)若PDA45，求证：MN平面 PCD.16.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，BAD60，第 11 题图第 12 题图第 13 题图第 14 题图第 15 题图AB4，AD 2，侧棱 PB ，PD .153(1)求证：
11、BD 平面 PAD. (2)若 PD 与底面 ABCD 成 60的角，试求二面角 PBCA 的大小.17.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACB =90,BAC=30,BC=1，AA 1= ，M 是6CC1 的中点，求证：AB 1A 1M 18.如图所示，正方体 ABCDABC D的棱长为 a，M 是 AD 的中点，N 是BD上一点，且 DNNB12，MC 与 BD 交于 P.(1)求证：NP平面 ABCD. (2)求平面 PNC 与平面 CC DD 所成的角.(3)求点 C 到平面 DMB 的距离.第 4 课 线面垂直习题解答第 16 题图第 18 题图1.A 两平行中有一条与平面垂
12、直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2.C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后 DPPE ,DPPF，PEPF.4.D 过 a 上任一点作直线 bb,则 a，b确定的平面与直线 b 平行.5.A 依题意,m 且 m ,则必有 ,又因为 l= 则有 l ,而 m 则 lm,故选 A.6.D 过 P 作 PDAB 于 D，连 CD，则 CDAB，AB= ，52BCA，52ABCDPD= .53412P7.D 由定理及性质知三个命题均正确 .8.A 显然 与 不平行.9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.10.B ，l，lm1
13、1. cm2 设正三角 AB C的边长为 a.3AC 2=a2+1,BC2=a2+1,AB =a2+4，又 AC2+BC2=AB2，a 2=2SA B C = cm23412.在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中当底面四边形 ABCD 满足条件 ACBD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如 ABCD 是正方形，菱形等)时,有 A1CB 1D1(注: 填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).点评：本题为探索性题目，由此 题开辟了填空题有探索性 题的新题型，此 题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VCVA，VCAB . 由 VCVA，VC AB 知 V
14、C平面 VAB.14.(1)证明:H 为VBC 的垂心,VCBE,又 AH平面 VBC,BE 为斜线 AB 在平面 VBC 上的射影,ABVC.(2)解:由(1)知 VCAB,VCBE,VC平面 ABE,在平面 ABE 上,作 EDAB,又 ABVC,AB面 DEC.ABCD,EDC 为二面角 EABC 的平面角，EDC=30,AB平面 VCD,VC 在底面 ABC 上的射影为 CD.VCD 为 VC 与底面 ABC 所成角,又 VCAB,VCBE,VC面 ABE,VCDE,CED=90,故ECD=60,VC 与面 ABC 所成角为 60.15.证明：(1)如图所示，取 PD 的中点 E，连结
15、 AE，EN ，则有 ENCDABAM，EN CD ABAM，故 AMNE 为平行四边形.21MNAE.AE 平面 PAD，MN 平面 PAD，MN平面 PAD.(2)PA平面 ABCD，PAAB.又 ADAB，AB平面 PAD.ABAE，即 ABMN.又 CDAB ，MNCD.(3)PA平面 ABCD，PAAD.又PDA45，E 为 PD 的中点.AEPD ，即 MNPD.又 MNCD，MN平面 PCD.16.如图(1)证：由已知 AB4，AD，BAD60，故 BD2AD 2+AB2-2ADABcos604+16-224 12.1又 AB2AD 2+BD2，ABD 是直角三角形，ADB90，
16、即 ADBD .在PDB 中，PD ，PB ，BD ，3152PB 2PD 2+BD2，故得 PDBD .又 PDADD，BD平面 PAD.(2)由 BD平面 PAD，BD 平面 ABCD.平面 PAD平面 ABCD.作 PEAD 于 E，又 PE 平面 PAD，PE平面 ABCD，PDE 是 PD 与底面 ABCD 所成的角.PDE60，PE PDsin60 .23作 EFBC 于 F，连 PF，则 PFBF，PFE 是二面角 PBCA 的平面角.又 EFBD ，在 RtPEF 中，12tanPFE .43EF故二面角 PBCA 的大小为 arctan .17.连结 AC1， .11263A
17、CMC第 15 题图解第 16 题图解RtACC 1 RtMC 1A1，AC 1C=MA 1C1，A 1MC1+AC 1C=A 1MC1+MA 1C1=90.A 1MAC 1,又 ABC-A1B1C1 为直三棱柱，CC 1B 1C1，又 B1C1A 1C1，B 1C1平面 AC1M.由三垂线定理知 AB1A 1M. 点评：要证 AB1A1M，因 B1C1平面 AC1，由三垂线定理可转化成证 AC1A1M，而AC1A1M 一定会成立18.(1)证明：在正方形 ABCD 中，MPDCPB，且 MD BC，2DPPBMDBC12.又已知 D NNB12，由平行截割定理的逆定理得 NPDD ，又 DD平面 ABCD，NP平面 ABCD.(2)NPDD CC，NP、CC在同一平面内，CC为平面 NPC 与平面 CCD D 所成二面角的棱.又由 CC平面 ABCD，得 CCCD ，CC CM，MCD 为该二面角的平面角 .在 Rt MCD 中可知MCDarctan ，即为所求二面角的大小.21(3)由已知棱长为 a 可得，等腰MBC 面积 S1 ，等腰 MBD 面积 S2 ，设2a246a所求距离为 h，即为三棱锥 CD MB 的高.三棱锥 DBCM 体积为 ，h213 .3621aSh
