1、第四章概率论习题_奇数.doc 1 某批产品共有 件，其中正品 件（ ） 。从整批产品中随机的进行有放回MN0M抽样，每次抽取一件，记录产品是正品还是次品后放回，抽取了 次（ ） 。试求这n1次中抽到正品的平均次数。n解 每次抽到正品的概率为： ，放回抽取，抽取 次，抽到正品的平均次数为： NnM3 设随机变量 的概率密度为 ，这时称 服从标准柯西分布。X21,fxxRX试证 的数学期望不存在。解 由于： 20201()ln()|()xxfddx 所以 的数学期望不存在。X5 直线上一质点在时刻 0 从原点出发每经过一个单位时间向左或者向右移动一个单位，若每次移动是相互独立的，并且向右移动的概
2、率为 （ ） 。 表示到时刻 为止质p01n点向右移动的次数， 表示在时刻 时质点的位置， 。求 与 的期望。nSnS解 每次向右移动的概率为 ，到时刻 为止质点向右移动的平均次数，即 的期望为：pnn()nEp时刻 质点的位置 的期望为：nS()(1)(21)nESpnp7 某信号时间长短 （以秒计）满足： ， 。用两种方法求TttPTte0出 。E解 方法 1：由于 ，所以 为非负随机变量。于是有：(0)1P00013()()()24ttTFtdTtded方法二：由于 ，所以，可以求出 T 的概率函数：(),()1(2),0ttfte于是 03)()4Ettfdtf9 已知一根长度为 1
3、的棍子上有个标志点 Q，现随机的将此棍子截成两段。（1）求包含 Q 点的那一段棍子的平均长度（若截点刚好在 Q 点，则认为 Q 包含在较短的一截内） ；（2）当位于棍子何处时，包含点的棍子平均长度达到最大？解 设棍子上的点是在0,1之间的，Q 点的位置距离端点 0 的长度为 q。设棍子是在 t 点处跌断，t 服从0,1的均匀分布。于是：包含 Q 点的棍子长度为 T，则：，,10min(,)qtTtq1t于是包 Q 点的那一段棍子的平均长度为：11200()()qEdxttdq11、为诊断人是否有人患有某种疾病，抽血化验。可用两种方法：（）每个人化验一次；（II）分成人一组（共组，假设 为正整数
4、， ） 。将每组50k1k人的血样集中起来一起检验，如果化验结果为阴性，则说明组内的每人都是阴性，就无需分别化验。若检验结果为阳性，则说明这人中至少有一人患病，那么就对该组内的人再单独化验。如果此病的得病率为，试问哪种方法的检验次数相对少些？解 (I)每个人化验一次，需要化验 500 次（II）分成 k 组，对每一组进行化验一共化验 次，每组化验为阳性的概率为：50k，若该组检验为阳性的话，需对每个人进行化验需要 k 次，于是该方法需要化验的10.7次数为：。5(.)kk将（II）的次数减去（I）的次数，得： 501(1.7)50(0.7)k kk于是：当 时，第二种方法检验的次数少一些；当
5、时，第一种方法检验的10.7k .k次数少一些；当 时，二种方法检验的次数一样多。.0k13、某电子监视器的圆形屏幕半径为 （ ） ，若目标出现的位置点服从均匀分布。r0设的平面直角坐标为 。 （）求 与 ；（）求点与屏幕中心位置,XY()EXY的平均距离。0,解 由题意知：， ，21,(,)0xyfxyr在 圆 内， 其 他 值 2,()0Xrxfx， 其 他 值 2,()0Yryf， 其 他 值（1） 计算可得 ()rEYd（2） A 的位置是 ，距中心位置（0，0）的距离是： ，于是所求的平均,xy 2xy距离为：22221() 3xyr rEXYdxyr15、接第 13 题，求当横坐标
6、为 时，纵坐标 的条件期望。3Y解 22| 1,(,)()0YXXrxyrxfxyfy， 其 他 值| 31(,),2()20YXXrrfyyrfy， 其 他 值于是： 231(|)rEYyd17、某技术考试，成绩必为 0,1，10 这 11 个数之一，而且考生取得每个成绩的可能性相同。第一次考试，若考生成绩为 ，然后需继续参加下一次考试，直到他获得的成绩X不低于第一次考试为止。记第一次考试后，又进行了 次才通过第二次考试。由于每次Z考题都是在题库中随机抽取的，所以所有考试均相互独立。（1）求最终的平均成绩 ；（2）求 。EY解：由题意知 ，其中 。于是1()PXk0,12k(,0,Yki)(
7、)|),01,1iYkXiik从而 00(,ki iPi于是：10()7.5kiEYi又11)()kiPZk从而101()()3.2()kiEi19、随机变量 服从 分布，概率密度函数为 ， ，其XGam1xfxe0中， 称为“形状参数” ， 称为“尺度参数” 。求 （ ）和 。00kEXDX解 10 ()() ,1()akkxkEXxed2112 20 0 ()(1)()()()aax xDed21、机器处于不同状态时制造产品的质量有所差异。如果机器运作正常，则产品的正品率为 98%；如果机器老化，则产品的正品率为 90%；如果机器处于需要维修的状态，则产品的正品率为 74%。机器正常运作的
8、概率为 0.7，老化的概率为 0.2，需要维修的概率为 0.1.先随机抽取了 100 件产品（假设生产这些产品的机器的状态相互独立） ，求（1）产品中非正品数的期望与方差；（2）在已知这些产品都是正常机器制造出来的条件下，求正品数的期望和方差。解 (1)设 p 表示从产品取到非正品的概率，于是有：，(98%)*0.72(190).*(174%)0.6用 X 表示产品中非正品数， X 服从二项分布 B(100，0.06)，有：10()().6kEP（参考 77 页的例 4.2.5）5.4Dp（3） 用 Y 表示在该条件下正品数， Y 服从二项分布 B(100,0.98)，于是()10.98E(0
9、.)1.96X23、设随机变量 和 独立，且方差存在，证明：Y22()()()()()()DYEXDYEX解 证明： 222222222()()(,)()XEYYEXEDXD由 于 相 互 独 立=25、接第 20 题， （1）求 与 的相关系数，并判断两者是否相关；（2）判断 与 是否独立？解（1）由相关系数的定义，得：，其中(,)XCovXD(,)()()CovXEXE通过计算得 ，即 ，从而说明 是不相关的。(,)00,（2）很显然， 不是相互独立的。X与27、随机三角形 ABC，角 A 与角 B 独立同分布，其分布律均为A /3/4/6P 1其中 ， ，且满足 。已知 。0321sin
10、(cos)8EA（1）写出 的联合分布律；,AB（2）求 ；sinEC（3）求角 A 与角 C 的相关系数，并由此判断它们的相关性（若相关，要求说明是正相关还是负相关） 。解（1）由题意得： ()(1)46612E，sinisiniA(cos)cos612EA结合已知条件，可求出： ，4由于 A 和 B 是独立同分布的，于是（A,B）的联合分布律为：A B P(A=i)361/16 1/8 1/16 1/41/8 1/4 1/8 1/241/16 1/8 1/16 1/46（2）2(sin)i()(sinco)(sin)31co0.968ECBAEBA（3） ，其中(,)ACvD(,)(,)(
11、,)ov(,)(,)()ovABCovABCovAD)2D所以： ，说明 A 和 C 是负相关的。(,1)ACovD29、设 ， 的可能取值为 ，且 （ ） ，若 和(0,1XNY1PYp01X相互独立，并记 。Y（1）证明： ；（2）计算 ，并判断 与 的相关性和独立性。(,)X解 （1）证明：由于 和 相互独立，于是由题意得Y()()0EXE22 2()()()4(1)1)DYDYEDXp从而有 (0,1)N（2） 222(,)(,)(,)()()() 21XCovovXCvYEXYDEYEp当 时， 和 是不相关的；当 ，即 时，说明 和 是正相关的1p0XC当 ，即 时，说明 和 是负
12、相关的20XC显然， 和 是 不独立的31、求参数为 的泊松分布的众数。解 （1）泊松分布的表示式为： ，于是通过计算有：(),01,!kePX(1)PXk故：,1(),kk当当当因此若 为正整数，则众数为 和 -1；当 不为正整数时，则众数为 的整数部分 。 33、三元正态变量 ，其中 ，123,XNaB:0,1。12604B（1）写出 的每个分量的分布；X（2）判别 ， ， 的相关性与独立性；123（3）若 ， ，求 的分布。Y1YX12,Y解 （1）由题意可知：，说明 1(),()0DXE1(0,)N，说明 126，说明 33()4,()3(,4)X（2）对于二维正态而言，两变量不相关等价于两变量独立。由于 ，所以 与 相关且不独立 12(,)0CovX12由于 ，所以 与 相关且不独立33由于 ，所以 与 不相关且独立2(,)v3X2从而（由 88 页性质 4）可以判断出 ， 与 不相互独立13X（3）计算有 ，112()0EY21()EY1 1212(,),(,(,)3CovvXCovovCovX21231313()(),)0X11(,),(,(,)7vYovvvv于是 ，其中 ，12(,)(,)YN01307
