1、1兰州大学大气科学学院 大气科学/应用气象 专业（班） 年级 课程 数值天气预报200 200 学年 第 2 学期（ A ）卷 期末考试题（ 120 分钟）考试时间 姓 名 学 号 题 号 得 分分 数主考教师： 隆霄 阅卷教师： 1对线性平流方程：0xuatCrank-Nicolson 的差分格式为：0)2(2111 xuxt njjnjjnjj分析其稳定性条件和截断误差。 (20 分)解:令 ,则差分格式可以展开为: ta4 )(111 njjnjjnjj uu利用冯-纽曼方法,设 , ,代入上式,化简可以得到增幅因子表达式为:iIkxnjGeuIsi21由于 1|in| xkI所以格式绝
2、对稳定.利用泰勒展开可以得到: .)!2/(21 tutunjnjjnj所以 ,时间截断误差为.)!/(21tttnjjnjj )(tO类似的方法把 , , , 在空间域展开,可以得到截断误差为1njuj1njju )2x2对线性平流方程： 0cdtxy其中 c=2.5, d=0.2, .1,.4t初始条件为：0,.5sin(2)si()ijuxjy请写出时间中央差、空间中央差分的差分格式，并用 Fortran 语言写出计算程序。（启动时步采用时间前差格式， 东西向边界取周期条件，南北向边界取固定边界条件）。5要求:程序中要有明确的变量 说明，所写程序符合 Fortran 语言基本标准。 (2
3、0 分)答：微分方程的差分格式为:1,1,1,0222nnnijijijijijijuuucdtxx启动时刻的差分格式为: 1000,1,1,ijijijijijijt程序略.3试分析如下差分形式的地转适应方程的解的频散性质。 （20 分）其中0xzgfvtu1()2xiixzHut解：设方程有如下形式的波动解 )(tkidIe)(tiIv)(tkidIez将此解代入差分方程组，并进行消元得 0/sindkgIfvuI0sin/IzHuIkd进行消元得频率方程 222/si1)(f相应的群速度公式为 dkfcg2sin由此可知当 kd=/2 时，群速度为 0，波能量不能频散。当 kd= 时，重
4、力惯性波变为纯惯性振荡。4已知 P 坐标系中的连续方程为： ，其中 ，请推导出0)pyvxu(ttsP坐标系中的连续方程。(20 分)解：对任意变量 有：),(,( tFtpyx6(1) pPsFsF)()()(其中 表示 ， ，或者sxyt又 (2)spssp ttpttp 2)(1)()()(1)(把（2）代入（1）则有： （3）FsFP利用（3）把 P 坐标系中的连续方程 展开有：0)pyvxu(（4）)(Vyvxuh又 （5）dtpt)(所以： （6）)(11 hVt把（6）代入（4） ，整理后则有：（7）0)(hVt（7）即是 坐标系中的连续方程。5原始方程模式与过滤模式有哪些不同之
5、 处？(10 分)答: (1)原始方程模式可以描写风场和质量场之间的适应过程， 这一过程是通过惯性重力波对能量的频散实现的；在过滤模式中，也会产生不适应，一旦出 现则 通过地转近似或者其他风压场的诊断关系加以调整，这种调整不是通过大气中的物理过程来实现的，而是强加的，这是两者最本质的区别。(2)过滤模式受到的限制较多，引入了静力近似， 还引入了其他的地转近似或者无辐散近似，而原始方程模式采用的近似条件较少，因而精度高，适用性强。(3) 原始方程模式可以描述天气发展的快过程，也可以描述天气发展的慢过程，而 过滤模式只能描述天气发展的慢过程。(4) 原始方程模式，不论是正压得还是斜压的，在不考虑地
6、形和摩擦作用的情况下，大气总的绝对角动量守恒，但过滤模式只有个别情形可以保证大气总的绝对角动量守恒。(5)原始方程模式对初值和计算稳定性非常敏感，对于一定的网格，在保证计算稳定的条件下，其所取的时间步长约比过滤模式小一个量级。6什么是非线性计算不稳定和混淆 误差?非线性计算不稳 定有何特点?你知道有那些方法可以克服非线性不稳定? (10 分)答:非线性计算不稳定是指由于非 线性作用产生的不稳定现象.混淆误差是指: 用有限网格上的函数值只能分解有限的波数,其最短波长为 2 ,如果非线性作用x产生波长小于 2 的分量,则网格系统不能正确的分辨,而把它错误的表示成某一种波长大于 2x的波,造成了这种波的误差,这样产生的误差就是混淆误差.x非线性不稳定具有突变的特点,同时它的产生不仅和差分方案有关,也和初值有关.克服的办法:7(1) 进行空间和时间平滑,滤去短波分量(2) 在方程中加入人工扩散项(3) 构造具有隐式平滑或者某种选择性衰减作用的差分格式(4)构造守恒的差分格式.8444
