1、第 1 页 (共 4 页 )绝密启用前黑龙江外国语学院继续教育学院 2014 年 秋 季学期 概率论与数理统计 试卷（ B 卷）题号 一 二 三 四 五 六 总分 评卷人 审核人得分一、 选择题（本大题共 9 小题，每空 2 分，共 40 分）1. 设随机试验 E对应的样本空间为 S。 与其任何事件不相容的事件为 ， 而与其任何事件相互独立的事件为 ；设 E为等可能型试验，且 S包含 10个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 。2 。若 与 独立，则 ；若已知 中至少有一3.0)(,4.)(BPAAB)(BAPBA,个事件发生的概率为 ，则 ， 。6)(3、一个袋子中有大小相
2、同的红球 5只黑球 3只，从中不放回地任取 2只，则取到球颜色不同的概率为： 。若有放回地回地任取 2只，则取到球颜色不同的概率为： 。4、 。若 服从泊松分布，则 ；若 服从均匀分布，则1)(XDE 0XPX。0P5、设 ，且 ，则 ；),(2N 3.42 ,2P 。X6、某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为 4元，二等奖 2元，假设中一、二等奖的概率分别为 0.3和 0.5, 且每张彩票卖 2元。是否买此彩票的明智选择为： （买，不买或无所谓） 。7、若随机变量 ，则 ； _，X)5,1(U40 Xp)12(XE)13(D8、设 ，则 ，并简化计算.1)(,.2)(,DEpnb nP。k
3、k6602.4本题得分第 2 页 (共 4 页 )9、随机变量 X、Y 的数学期望 E(X)= -1，E(Y)=2, 方差 D(X)=1，D(Y)=2, 且 X、Y 相互独立，则：， 。)2(E)2(YXD二、 （本大题共 1小题，8 分）甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为 0.2，0.1，0.3现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占 15%，80%，5%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品为甲厂生产的概率三、 （本大题共 1小题，8 分）已知随机变量 X的密度函数 其 它 , 01)(xaxf求：（1）常数 ， （2） （3）X 的分布函数 F（ x）
4、。a)5.p本题得分本题得分第 3 页 (共 4 页 )四、 （本大题共 1小题，10 分）设随机变量（X，Y）的联合概率密度为： 其 它 , 010,4),( yxyxf求：（1）X，Y 的边缘密度， （2）由（1）判断 X，Y 的独立性。五、 （本大题共 1小题，10 分）从总体 中抽取容量为 16的一个样本，样本均值和样本方差分别是 ， X) ,(2uN 4,752SX5.27)1(,6.5(3.)52597.002.97.0 xxt求 u的置信度为 0.95的置信区间和 的置信度为 0.95的置信区间。本题得分本题得分第 4 页 (共 4 页 )六 、 （本大题共 1小题，10 分）设
5、总体 XN(u，1), 未知。 是一个样本，求 的最大似然估计量，并证明它为nX,.1u的无偏估计。七、 （本大题共 1小题，14 分）某人寿保险公司每年有 10000人投保，每人每年付 12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付 1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为 0.0064。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于 48000元的概率。已知 ， 。8413.0)(972.0)(本题得分本题得分第 4 页 (共 4 页 )答案：一. 填空题1. 设随机试验 E 对应的样本空间为 S。 与其任何事件不相容的事件为 不可能事件，而与其任何事件相互独立的事件为 必然
6、事件；设 E 为等可能型试验，且 S 包含 10个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 1/10。2 。若 与 独立，则 0.28 ；若已知 中至少3.0)(,4.)(BPAAB)(BAPBA,有一个事件发生的概率为 ，则 0.3， 1/3 。6)(3、一个袋子中有大小相同的红球 5 只黑球 3 只，从中不放回地任取 2 只，则取到球颜色不同的概率为： 15/28。若有放回地回地任取 2 只，则取到球颜色不同的概率为： 15/32 。4、 。若 服从泊松分布，则 ；若 服从均匀分布，则1)(XDE 0XP1eX0 。P5、设 ，且 ，则 2 ；),(2N 3.42 ,2P 0.
7、8 。X6、某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为 4 元，二等奖 2 元，假设中一、二等奖的概率分别为 0.3 和 0.5, 且每张彩票卖 2 元。是否买此彩票的明智选择为： 买 （买，不买或无所谓） 。7、若随机变量 ，则 0.75 ； _7_，X)5,1(U40 Xp)12(XE12 )13(D8、设 ，则 ，并简化计算.1)(,.2)(,DEpnb nP34.0。kk6602.42.7)4.06.409、随机变量 X、Y 的数学期望 E(X)= -1，E(Y)=2, 方差 D(X)=1，D(Y)=2, 且 X、Y相互独立，则： -4 ， 6 。)2(YE)(YXD二、 甲、乙、丙三个工
8、厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2，0.1，0.3现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占 15%，80%，5%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品为甲厂生产的概率解：设 分别表示产品取自甲、乙、丙厂，321A,第 4 页 (共 4 页 )有： 2%5)P(A80,)(%,15)p(A32B 表示取到次品， ， 23.0)B(0.1,.B21 由贝叶斯公式： = 4)(p1 24./)(311 kkkAp（三、已知随机变量 X 的密度函数 其 它 , 0)(xaxf求：（1）常数 ， （2） （3）X 的分布函数 F（x ） 。a5.p解:(1)由 2,1)(dxf得
9、(2) = 3)5.0Xp.05.02.)(xdxf(3) 2xxF1 , )(2四、设随机变量（X，Y）的联合概率密度为： 其 它 , 010,4),( yxyxf求：（1）X，Y 的边缘密度， （2）由（1）判断 X，Y 的独立性。解:(1) X，Y 的边缘密度分别为 :5 其 他， 其 他， 0 1024)()( )()(1010 yyxdyxfyf xffY(2)由(1)可见 , 可知: X ，Y 相互独立 2）（）（），（ fffYX五、从总体 中抽取容量为 16 的一个样本，样本均值和样本方差分别是X) ,(2uN， 4,752S 5.27)1(,26.)15(,3.15597.0
10、20.97.0 xxt求 u 的置信度为 0.95 的置信区间和 的置信度为 0.95 的置信区间。解: (1)n=16, 置信水平 ,.2/,.,3.)(502.t由此 u 的置信水平为 0.95 的置信区间为:4,752SX第 4 页 (共 4 页 ), 即 4)135.2675()0658.17(2) n=16,置信水平 ,2./,9.5.27)1(,26.)1(597.050. xx由此 的置信水平为 0.95 的置信区间为:42S23)58.9,12()51,)(5297.020. 六 、设总体 XN(u，1), 未知。 是一个样本，求 的最大似然估计量，并证明它为nX,.1 u的无
11、偏估计。u解: 样本 的似然函数为:nX,.12)(21exp)2(,.( 2/1 nkinn uxL而 1)()l(/),.(l 121 nkin xu令: , 10)(,.l11nkinuxdxL解得: 的最大似然估量 1inku1 knX1, 它为 的无偏估计量.uXnEk)()1七、某人寿保险公司每年有 10000 人投保，每人每年付 12 元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付 1000 元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为 0.0064。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于 48000 元的概率。已知， 。8413.0)(972.0)(解:设 X为该保险公司一年内的投保人死亡人数,则 XB(10000,0.0064)。该保险公司的利润函数为： 。 2L10所以 72481 PPLP用中心极限定理96.43.06.03813)(答：该保险公司一年内的利润不少于 48000 元的概率为 0。841第 4 页 (共 4 页 )
