1、复习题简答：第一章1、 设 A、B、C 表示三个随机事件，试将下列事件用 A、 B、C 表示出来：（1 ） B,C 都发生，而 A 不发生；（2 ） A,B,C 中至少有一个发生；（3 ） A,B,C 中恰有一个发生；（4 ） A,B,C 中恰有两个发生；（5 ） A,B,C 中不多于一个发生；（6 ） A,B,C 中不多于两个发生。解:（1 ） BCA（2 ） （3 ）（4 ）（5 ） CBACBA（6 ）2、 把 1，2 ，3，4，5 诸数各写在一张纸片上任取其中三个排成自左而右的次序。问：（1 ） 所得三位数是偶数的概率是多少？（2 ） 所得三位数不小于 200 的概率是多少？解：（1）
2、 （2） 524A542A3、 甲乙丙三人去住三间房子。求：（1 ） 每间恰有一个的概率；（2 ） 空一间的概率。解: （1） 923A（2 ） 123C4、 设 8 支枪中有 3 支未经试射校正，5 支已经试射校正。一射击手用校正过的枪射击时，中靶概率为 0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为 0.3. 今假定从 8 支枪中任取一支进行射击，求：（1 ） 中靶的概率；（2 ） 若已知中靶，求所用这支枪是已校正过的概率。解: A：中靶。B：已知中靶，所用这支枪是已校正过的。80493.085)(AP.)(B5、 设有甲乙两盒，其中甲盒内有 2 只白球 1 只黑球，乙盒内有 1 只白球 5
3、只黑球。求从甲盒任取一球投入乙盒内，然后随机地从乙盒取出一球而得白球的概率。解: A：从乙盒取出一球得白球。B：从甲盒中任取一白球放入乙盒。 ()(|)(PA|B)3721P6、 设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的 45%，35% ，20%。如果各车间的次品率依次为 4%，2%，5% 。现在待出厂产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率。解： A：任取一个产品是次品。B：产品由甲车间生产。 3518%2035%4)( P7、 对某种药物的疗效进行研究，假定这药物对某种疾病治愈率为 0.8，现 10 个患此病的病人都服用此药，求其中至少有 6 人治愈的概率。解:
4、X：治愈的人数， )8.0,1(BX0.9672 )8.0()2.(80)2.(802).(8 119113741 CCCXP第二章8、 某产品 5 件，其中有 2 件次品。现从其中任取 2 件，求取出的 2 件产品中的次品数 X的概率分布律及分布函数。解：次品数 X 可能的取值为 0，1 ，2 分布律为：2350.CP0.612513CXP25分布函数为： 0,.31()9,2xFx9、 设连续型随机变量 X 的分布函数为 ,试确常数 A,B，并求30(),xABeFx， 及概率密度。13P1解：由 F(x)的性质，得 A=1, B= -1 ，所以31,0()xeFx131(1)e;3XF3
5、;Pe,0()xfx10、已知连续型随机变量 X 有概率密度 ，求：1,02()kxf其 它（1 ）系数 k；（2 ）分布函数 F(x)；（3 ） P1.52。(.5,4)XN:解： 03.)75.2(1)75.(.142. P 41.0)75.(1)2(2 P13、设随机变量 X 在（-1 ，1）上服从均匀分布，求 的概率密度。31YX解： 其 他,02)(xxf的概率密度为31YX其 他,04261)(yyfY14、设 的分布律为X -2 -1/2 0 2 4p 1/8 1/4 1/8 1/6 1/3求（1） , （2） ， （3 ） 的分布律。1X2X+2 0 3/2 2 4 6p 1/
6、8 1/4 1/8 1/6 1/3-X+1 0 3/2 1 -1 -3p 1/8 1/4 1/8 1/6 1/32X4 1/4 0 16p 7/24 1/4 1/8 1/3第三章15、一整数 X 随机地在 1，2，3 ，4 四个整数中取一个值，另一个整数 Y 随机地在 1 到 X中取一个值，试求（X,Y）的分布律。解：，41,YXP 812,1,2YXPYXP3,33 164,41,416、设 (X,Y)的概率密度为 ，试求：22(1),+(,)0,Cxyfxy（1 ）系数 C；（ 2）(X,Y)落在 D: 确定的区域内的概率。22(/)解: 根据 - 1),(dxyf解出 32)1(3),(
7、20drrdDYXP17、设 (X,Y)的概率分布律为X Y 1 1.2 1.4 0.81 1/5 1/5 0 01.5 1/51.3 1/51.2 1/5求（1）(X,Y)的边缘分布律；（2 ）PXY。解:X 1 1.5 1.3 1.2p 2/5 1/5 1/5 1/5Y 1 1.2 1.4 0.8p 2/5 1/5 1/5 1/5（2 ） PXY=3/518、设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 求(X,Y)的34,0,(2)(,).xyfxy其 它边缘概率密度，并判断 X,Y 是否相互独立。解: 0,0,)2()2(4),()( 3xdyxdyxffX, ,)()(),()( 20
8、3yyxxyfyfYX,Y 不相互独立19、若 X,Y 独立且都服从同一概率密度 ，求（1）(X,Y) 的联合概率密,0().xef度；（2）P02。解: (X,Y)的联合概率密度函数为 其 他,00,),()(yxyexf1()12020,()3xyPXYede第四章20、一个有 n 把钥匙的人要开他的门，他随机而又独立地用钥匙试开。如果除去试开不成功的钥匙，求试开次数的数学期望。解: 设 X 为试开次数，则 X 的可能取值为 1，2，n，且P(X=k)=1/n，k=1,2,，n)(12)( nE21、对球的直径作近似测量，设其值均匀地分布在区间 内，求球体积的均值。,ab解:36DV)(2
9、41)( 23 abdxabEa 22、设 X 为随机变量， ，试证： 。2(),EXD2(1)()EX证明： 22)()1( 23、设 (X,Y)服从 上的均匀分布，试求 X,Y 的相关系数 ，(x,y|01,yx XY并说明 X 与 Y 是否不相关。解:其 他,0)(2),(Dyxyxf41)(3XYEE， 361)()(),cov( YEXYX6)(21)(2X， 18，1)(,covYDY不是不相关。24、对于随机变量 X,Y,Z，已知1,1,EXYZXDYZ0,.5,0,XYZYZ求（1） ；（2） 。()()解:2)E22()()E1)6XYDDX3 ),cov(),cov(2),
10、cov()()( ZYZXZYX25、在 n 重贝努里试验中，若每次试验 A 出现的概率为 0.75，试利用切比雪夫不等式求出n，使 A 出现的频率在 0.74 至 0.76 之间的概率不小于 0.9。解: 事件 A 出现的次数)75.0,(BX,75.0(nXE,1875.0)(nDnPnP 1875).(.6.4. 2,9.01875.18750第五章26、已知一批产品（批量很大）的次品率 ，现从这批产品中随机地抽取 1000 件进0.1p行检查，求次品数在 90 至 110 之间的概率。解: 次品数 )B(10,.X 0.762(-1.5)(.0)91-0-X9-PP90 27、设某电话
11、交换台每秒种平均被呼叫 2 次（电话交换台每秒被呼叫次数服从泊松分布） ，试求在 100 秒钟内被呼叫次数在 180 至 220 次之间的概率。解: 第 i 秒呼叫次数 ，100 秒内呼叫次数为 X，则()Xi2)(,iiXDE10iiX841.0(-.)(1.4)20-20-18PP810i i第六章28、设 来自总体 的简单随机样本，已知 ，试求12,nX X2,EXD。,ED解: ()n2D()29、设 来自总体 为标准正态分布的简单随机样本，试确定常数 ，使得125,X Xc服从 分布。22345()cTt解: ),0(21N)1,0(21N32543X所以， 1212345345()
12、/ (3)Xt6/c30、设有 N 个产品，其中有 M 个次品，进行放回抽样。定义 如下，iX求样本 的联合分布律。1,0.iiX第 次 取 得 次 品 ，第 次 取 得 正 品 12,nX解: 总体 X 的分布律为： ，1()(),0xxMPN则样本 的联合分布律为12,n nini nnxx xxxnNNMxf 11 2211 1121* )() )()(,( 31、设一批灯泡的寿命 X 服从参数为 的指数分布，求来自总体样本 的联12,nX合概率密度。解: 总体的概率密度： ,0()xef则样本 的联合分布律为12,nX nixneexf xn121),(2*32、在总体 中抽取容量为
13、的样本，如果要求样本均值落在(5.6,9.6) 内的概率不(7.6,4)Nn小于 0.95，则 至少为多少？n解: ),.(X 95.0/267.9/26.756.9.5 nXnPP.0)()(n5.01)(.)(4n33、设 是来自正态分布 的一个样本， 分别是样本均值和样1217,X 2(,)N2,XS本方差。求 使得 。k0.95PkS解: (16)/7tS 95.017knSPX17.459k0.423k第七章34、设总体分布律为 ，求 的极大似22()(1),3,01kPXk然估计 。解: 似然函数： ni nxn xnxxL121221 222 )()()( )1()( 两边取对数， )1ln(2(l)()1(ln)(l 121 xxL nin两边求导数，并令其为 0，解出12)(lnnixdnix12的极大似然估计量为 niiX1235、设总体密度函数函数为 求 的矩估计。2,0().xefx解: 12)()( 20dxedxfXE用 替代 ，得 为矩估计量。)(21X36、设 是取自某总体的容量为 3 的样本，试证下列统计量都是该总体均值 的123,X 无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？
