1、 page 1 of 18例题精讲燕尾定理：在三角形 中， ， ， 相交于同一点 ，ABCDBECFO那么， :OASDOFED CBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 和 的形状很象燕子的尾巴，所A以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题 证明燕尾定理 ： 如右图， 是 上任意一点，请你说明：DBC1423:SBDC S3S1 S4S2 ED CBA【解析】 三角形 与三角形 同高，分别以 、 为底，所以有 ；BDC14:SBDC三角形
2、 与三角形 同高， ；AEB12:SEA三角形 与三角形 同高， ，所以 ；C431423:综上可得， . 1423:S燕尾定理page 2 of 18【例 1】 （2009 年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形 的面积是 ， 是 的中点，点ABC1EAC在 上，且 ， 与 交于点 则四边形 的面积等于 DBC:1:2DABEFDFFED CBA33321F ED CBAAB CDEFF ED CBA【解析】 方法一：连接 ，根据燕尾定理， ， , 12ABFCS 1ABFCSE设 份，则 份， 份， 份，如图所标1BDFS D 3 3AFECS 所以 521CEAB方法二：连接 ，由题
3、目条件可得到 ，13ABDABC ，所以 ，13ADEACABCSS ESF，1112232FDEBEABC 而 所以则四边形 的面积等于 3CACSS D5【巩固】如图，已知 ， ，三角形 的面积是 ，求阴影部分面积. 30 DEFCBADEFCBADEFCBA【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接 ，因为 ， ，三角形 的面积是 30，CFBC2EABC所以 ， 103ABEAS 15ADBCS 根
4、据燕尾定理， ， , 2BFC 1F所以 ， ，17.54ABFAS 157.BDS所以阴影部分面积是 30.(法二)连接 ，由题目条件可得到 ，DE103ABEABCS ，所以 ，12123BBCABCSS EDFpage 3 of 18，1112.52323DEFDEAADCABCSSS 而 所以阴影部分的面积为 03CB 1【巩固】如图，三角形 的面积是 ， 在 上 ，点 在 上，且 ,2cmEDBC:3:5AE， 与 交于点 则四边形 的面积等于 :2:BDAFDFC FED CBAAB CDEFF ED CBA【解析】 连接 ，C根据燕尾定理， ， , 2639ABFCS 36510
5、ABFCSE设 份，则 份, 份， 份， 份，6ABFS 10 4598EC 31062CDFS所以 245420(910)(6)8(6)3(cm)DCE【巩固】如图，已知 ， ， 与 相交于点 ,则 被分成的 部分面积各占32ECABDOAB 4面积的几分之几？AB OED CBA13.5 4.59 211213OED CBA【解析】 连接 ,设 份，则其他部分的面积如图所示，所以 份，所以四部1AEOS 129830ABCS分按从小到大各占 面积的 24.593.5,0600【巩固】( 年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在 中， ， ， 与 相交207 AB 2P3QABP于点 ，若 的面积
6、为 ，则 的面积等于 XABC 6XXQ PA BCXQ PA BC44 11XQ PCBA【解析】 方法一：连接 由于 ， ，所以 ， 12CP13QC23ABQABCS126PQBCABCSSA由蝴蝶定理知， ，:4:6ABPXpage 4 of 18所以 41262.455ABXABPABCABSS方法二：连接 设 份，根据燕尾定理标出其他部分面积，X所以 6(4).ABX【巩固】如图，三角形 的面积是 ， ， ， 与 相交于点 ，请写出这 部分12BD2EADBEF4的面积各是多少?AB CDEF486 21AB CDEF【解析】 连接 ，设 份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图
7、所示，所以 ,C1AEFS 12AEFS, ,627ABFS 8BD 2417FDCES【巩固】如图， 在 上， 在 上，且 , ， 与 交于点 四边形:3A:1:2BDCAB的面积等于 ，则三角形 的面积 DEC2cmAB CDEFAB CDEF2.41.62AB CDEF1 2【解析】 连接 ,根据燕尾定理， ， , 12AFS 3AFBSE设 份，则 份， 份， 份， 份,1BDFS 2DC B 4C 241.63AEFS份,如图所标,所以 份, 份34.2EC .EFDS9BC所以 2945(cm)AB【巩固】三角形 中， 是直角，已知 ， ， ， ，那么三角形 (阴影AC23AMAM
8、N部分)的面积为多少？ABC DMNABC DMN【解析】 连接 B的面积为A 32根据燕尾定理， ；:2:1AN page 5 of 18同理 :1:CBNAM 设 面积为 1 份，则 的面积也是 1 份，所以 的面积是 份，而 的 NB ANB 12ACN面积就是 份， 也是 4 份，这样 的面积为 份，所以 的24C C 40M面积为 30.【巩固】如图，长方形 的面积是 平方厘米， ， 是 的中点阴影部分的面积是多少ABD22EDFG平方厘米?x yyxAB CDEFGGF EDCBA3 3GF EDCBA213【解析】 设 份，则根据燕尾定理其他面积如图所示 平方厘米.1DEFS 5
9、12BDS阴 影【例 2】 如图所示，在四边形 中， ， ，四边形 的面积是 ，那么平行四AD3E3ADFAEOF12边形 的面积为_BOCOFE DCBA684621OFE DCBA【解析】 连接 ,根据燕尾定理 , ,设 ,AD:2AODSF :2:1AODBSE BEOS则其他图形面积，如图所标，所以 .14BCAEOS【例 3】 是边长为 厘米的正方形， 、 分别是 、 边的中点， 与 交于 ，则四边BC12BCFCG形 的面积是_平方厘米G G FED CBA G FED CBA【解析】 连接 、 ，设 份，根据燕尾定理得 份， 份，则C1GCS 1AGS 1BGCS份， 份，所以1
10、26S形 34AD22649(cm)DC【例 4】 如图，正方形 的面积是 平方厘米， 是 的中点， 是 的中点，四边形 的AB20EFBGHF面积是_平方厘米page 6 of 18HGFEDCBAHGFEDCBA【解析】 连接 ,根据沙漏模型得 ,设 份，根据燕尾定理 份， 份，:1:2GD1HCS 2CHDS 2BHDS因此 份， ，所以 (平方厘米).12)0S形 736BFG710146BFHG【例 5】 如图所示，在 中， ， 是 的中点，那么 ABC :1EAE:AFEDCBAFEDCBA【解析】 连接 C由于 ， ，所以 ，:1:ABDES :3:4BEDCS :3:4ABDS
11、 根据燕尾定理， AF 【巩固】在 中， ， ，求 ？:3:2:1:OEAB CDEOAB CDEO【解析】 连接 因为 ，根据燕尾定理， ，即 ；:3:2:3:2AOBCS32AOBACS又 ，所以 则 ，1AE43AOCES42AOES所以 :1BEO【巩固】在 中， ， ，求 ？C2D:3:BAB CDEOpage 7 of 18【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接 OC连接
12、 OCAB CDEO因为 ，根据燕尾定理， ，即 ；:2:1:2:1AOBCSD2AOBCS又 ，所以 则 ，3AE4AOES48AOES所以 :8:1BEO【例 6】 （2009 年清华附中入学测试题）如图，四边形 是矩形， 、 分别是 、 上的点，且F， ， 与 相交于 ，若矩形 的面积为 ，则 与 的13AE4CFACGABCD120AEGCF面积之和为 AB CDEFGHAB CDEFGAB CDEFG【解析】 (法 1)如图，过 做 的平行线交 于 ，则 ，EA:1:3EH所以 ， ，即 ，2AEH:2G2AG所以 3103942GABFABCDSSS且 ，故 ，则 CEE152CG
13、FAEGSS所以两三角形面积之和为 105(法 2)如上右图，连接 、 G根据燕尾定理， ， ，:3:1ABGCSF :1BCGAS而 ，160ABCDS所以 ， ， ， ，32G602ABC231BCG6023ABCS则 ， ，1AEAB154FGBS所以两个三角形的面积之和为 15【例 7】 如右图，三角形 中， ， ，求 C:9D:4:3CEA:FBpage 8 of 18OF ED CBA【解析】 根据燕尾定理得 :4:9127AOBSD 36CE （都有 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 :27:16:AOCBF 【点评】本题关键是把 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用
14、比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形 中， ， ，求 .:3:4DC:5:6AE:AFB OF ED CBA【解析】 根据燕尾定理得 :3:415:20AOBSD 68CE （都有 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 :20:18:9:AOCBAFB 【巩固】如图， , ,则 :3D:5:3E: GF ED CBA【解析】 根据燕尾定理有 , ,所以:2:3105ABGCS :5:3106ABGS :156ACGBS 【巩固】如右图，三角形 中， ， ，求 .:4EC:AFB OF ED CBA【解析】 根据燕尾定理得
15、:2:3105AOBCS 48E （都有 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 :15:8:AOCBF page 9 of 18【点评】本题关键是把 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如AOB果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 8】 (2008 年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形 中，ABC，且三角形 的面积是 ，则三角形 的面积为_，三:3:2AFDCE1ABE角形 的面积为_，三角形 的面积为_GGHIIHGFED CBAIHGFED CBA【分析】 连接 、 、 AI由于 ，所以 ，故 ；:3:2CE25AE25A
16、BEABCS根据燕尾定理， ， ，所以:3CGBS :3:2GE，则 ， ；:4:69ACGBS 419ACG91BC那么 ；28515EAGC同样分析可得 ，则 ， ，所以9HS:4:9ACGHES:4:19ACGBES，同样分析可得 ，:4:0B105ID所以 ， 52115IEAE59HIBIE【巩固】 如右图，三角形 中， ，且三角形 的面积是 ，求三角C:3:2FCAGHI1形 的面积BC IHGF ED CBAIHGF ED CBA【解析】 连接 BG， 份AGCS 6根据燕尾定理， ，:3:264BGCSAF :3:296ABGCS 得 (份)， (份)，则 (份)，因此 ,4B
17、 9A 19ABCS 619同理连接 AI、CH 得 , ,61BHCS I所以 199GHIABCS三角形 GHI 的面积是 1，所以三角形 ABC 的面积是 19page 10 of 18【巩固】(2009 年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图， 中 ， ，ABC2DA2CEB，那么 的面积是阴影三角形面积的 倍2AFCABAB CDEFGH IIHG FEDCBA【分析】 如图，连接 AI根据燕尾定理， ， ，:2:1BCIAISD:1:2BCIAISF所以， ，:14I那么， 27BIABABCS同理可知 和 的面积也都等于 面积的 ，所以阴影三角形的面积等于 面积GH27A
18、BC的 ，所以 的面积是阴影三角形面积的 7 倍137【巩固】如图在 中， ,求 的值ABC 12DEAFBGHIAC 的 面 积 的 面 积 IHGFED CBAIHGFED CBA【解析】 连接 BG,设 1 份，根据燕尾定理 , ,BGCS :2:1AGCBSF :2:1ABGCSD 得 (份)， (份),则 (份)，因此 ,同理连接 AI、CH 得2A 4AB 7B 7AGCB, ,7BHCS IC所以 217GIAB【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【巩固】如图在 中， ,求 的值ABC 13DEAFBGHIAC 的 面 积 的 面 积
