1、4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 1 of 17模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S4S3S2S1ODCBA 或者1243:1324S 124:AOC蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、 BD 分成四个部分，AOB 面积为 1 平方千米， BOC 面积为 2 平方千米， COD 的面积为 3 平方千米
2、，公园由陆地面积是 692 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得 平方千米，公园四边形 的面积是 平312.5AOS ABCD123.57方千米，所以人工湖的面积是 平方千米76908【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形 的面积； ？BGC:GC AB CDG321【解析】 根据蝴蝶定理， ，那么 ；123BGSA 6BGCSA根据蝴蝶定理， (？ ):1:3任意四边形、梯形与相似模型4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 2 of 17【例 2】 四边形 的对角线 与 交于
3、点 (如图所示)。如果三角形 的面积等于三角形ABCDABDOABD的面积的 ，且 ， ，那么 的长度是 的长度的_倍。1323COAB CDOH GAB CDO【解析】 在本题中，四边形 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：利用AD已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件 ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的:1:3ABDCS已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形” ，于是可以作 垂直 于 ， 垂直 于 ，面积比转化为高之比
4、。AHBDCGBD再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一： ，:1:3ABDCOS ，236C :1解法二：作 于 ， 于 HG ，3ABDCS ，1G ，AODC ，3 ，26 :1【例 3】 如图，平行四边形 的对角线交于 点， 、 、 、 的面积依次是ABCDOCEF O DF BOE2、4、4 和 6。求：求 的面积；求 的面积。F GOG FEDCBA【解析】 根据题意可知， 的面积为 ，那么 和 的面积都是 ，BD 2461BCO D1628所以 的面积为 ；O
5、CF 84由于 的面积为 8， 的面积为 6，所以 的面积为 ， O E 862根据蝴蝶定理， ，所以 ，:2CEFGS :GCFSG那么 1223GCECEFS4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 3 of 17【例 4】 图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2 个小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？7676EDCBA【解析】 在 ， 中有 ，所以 ， 的面积比为 。ABECDEBCDACD()AEB:()CDE同理有 ， 的面积比为 。所以有 = ，也():()EBSCDS就是说
6、在所有凸四边形中，连接顶点得到 2 条对角线，有图形分成上、下、左、右 4 个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即 = ，所以有 与6AE7AEA的面积比为 ， = 公顷， = 公顷。 AE7:6ABES7391DE39187显然，最大的三角形的面积为 21 公顷。【例 5】 (2008 年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是 1，则图中阴影三角形的面积为 。CABDOCABD【解析】 连接 、 、 。ADB则可根据格点面积公式，可以得到 的面积为： ， 的面积为：AB412ACD， 的面积为： 31.52423所以 ，所以 :3.5:7ABCDOS 41234
7、7ABOABDSS【巩固】如图，每个小方格的边长都是 1，求三角形 的面积。CAB CDE【解析】 因为 ，且 ，所以 ， ， :2:5DEDE:2:5AC52ABCS51027DBCS4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 4 of 17【例 6】 (2007 年人大附中考题)如图，边长为 1 的正方形 中， ， ，求三角形ABCD2ECFD的面积AEGAB CDEFGAB CDEFG【解析】 连接 因为 ， ，所以 2FD11()232DEFABCDABCDSS因为 ，根据蝴蝶定理， ，1AEDABCS :6:G所以 6741GFADFABCDABCD所以 ，132 27A
8、EGSS即三角形 的面积是 【例 7】 如图，长方形 中， ， ，三角形 的面积为 平方厘米，求长BCD:3E:1:2DFCDFG2方形 的面积AAB CDEFGAB CDEFG【解析】 连接 ， A因为 ， ，所以 :2:3:1:2DF311()520DEFABCDABCDSSSA长 方 形 长 方 形因为 ， ，所以 平方厘米，所以1AEDABCS长 方 形 :0GGFA平方厘米因为 ，所以长方形 的面积是 平方厘米F 6AFDABCDS长 方 形 72【例 8】 如图，已知正方形 的边长为 10 厘米， 为 中点， 为 中点， 为 中点，求三角ECEGBF形 的面积BGAB CDEFGO
9、AB CDEFG【解析】 设 与 的交点为 ，连接 、 DCEOEDF4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 5 of 17由蝴蝶定理可知 ，而 ， ，:BEDCOSA 14BEDABCSA 12DABCSA所以 ，故 :12BEDCA 3O由于 为 中点，所以 ，故 ， FF:2:F:1:OE由蝴蝶定理可知 ，所以 ，:BDESA 8BDBABCDSSAA那么 （平方厘米） 1106.526BGDFCAA【例 9】 如图，在 中，已知 、 分别在边 、 上， 与 相交于 ,若 、MNCMNOM和 的面积分别是 3、2、1，则 的面积是 ONNMOCBA【解析】 这道题给出的条
10、件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解根据蝴蝶定理得 312AOMBNNS设 ，根据共边定理我们可以得MONSx， ，解得 ABMNC321xx2.5【例 10】 (2009 年迎春杯初赛六年级)正六边形 的面积是 2009 平方厘米， 分123456A123456B别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米B6B5B4B3B2B1A6A5 A4A3A2A1OB6B5B4B3B2B1A6A5 A4A3A2A1【解析】 如图，设 与 的交点为 ，则图中空白部分由 个与 一样大小的三角形组成，只要6213O623O求出了 的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积O连
11、接 、 、 636163设 的面积为” “，则 面积为” “， 面积为” “，那么 面积为1AB126BA1126AB63AB的 倍，为” “，梯形 的面积为 ， 的面积为” “，264342634-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 6 of 17的面积为 123BA2根据蝴蝶定理， ，故 ， ，12632613:1:BABOS2361AOS1237BAS所以 ，即 的面积为梯形 面积的 ，故为六边形231236:7AAS梯 形 236面积的 ，那么空白部分的面积为正六边形面积的 ，所以阴影部分面积为14564 4(平方厘米)09874-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题
12、库 page 7 of 17板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：AB CDObaS3S2 S1S4 213:a ；24:Sab 的对应份数为 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例 11】 如图， ， ，求梯形的面积2S34S4S3S2 S1【解析】 设 为 份， 为 份，根据梯形蝴蝶定理， ，所以 ；又因为 ，所12a2b234Sb2Sab以 ；那么 ， ，所以梯形面积 ，或者142Sab123419S根据梯形蝴蝶定理
13、， 219【巩固】(2006 年南京智力数学冬令营)如下图，梯形 的 平行于 ，对角线 ， 交于 ，ABCDCABDO已知 与 的面积分别为 平方厘米与 平方厘米，那么梯形 的面积是AOB C 535C_平方厘米3525OA BCD【解析】 根据梯形蝴蝶定理， ，可得 ，再根据梯形蝴蝶定理，2:5:3AOBSab:57ab，所以 (平方厘米)那么梯形 的面积为22:5749AOBCSab49DOCSA ABCD(平方厘米)253491【例 12】 梯形 的对角线 与 交于点 ，已知梯形上底为 2，且三角形 的面积等于三角DC O形 面积的 ，求三角形 与三角形 的面积之比B23AB4-2-3
14、任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 8 of 17OAB CD【解析】 根据梯形蝴蝶定理， ，可以求出 ，2:3AOBCSab:23ab再根据梯形蝴蝶定理， 249DA通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论【 例 13】 (第十届华杯赛)如下图，四边形 中，对角线 和 交于 点，已知 ，并且BCACBDO1A，那么 的长是多少？35ABCD三 角 形 的 面 积三 角 形 的 面 积 O ABCDO【解析】 根据蝴蝶定理， ，所以 ，又 ，所以 ABOC三 角 形 的 面 积三 角
15、 形 的 面 积 35AC1O53C【例 14】 梯形的下底是上底的 倍，三角形 的面积是 ，问三角形 的面积是多少？1.5B29cmADAB CDO【解析】 根据梯形蝴蝶定理， ， ，:1.52:3ab22:34:9AODBCSab所以 24cmAODS【巩固】如图，梯形 中， 、 的面积分别为 和 ，求梯形 的面积BCAC1.27ABCDOD CBA【解析】 根据梯形蝴蝶定理， ，所以 ，2:4:9AOBDSab:23ab， ，2:3AOBSab1.8AOCBS1.8.7.5CD梯 形4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 9 of 17【例 15】 如下图，一个长方形被一
16、些直线分成了若干个小块，已知三角形 的面积是 ，三角形ADG1的面积是 ，求四边形 的面积BCH23EGFHHGFED CBAHGFED CBA【解析】 如图，连结 EF，显然四边形 ADEF 和四边形 BCEF 都是梯形，于是我们可以得到三角形 EFG 的面积等于三角形 ADG 的面积；三角形 BCH 的面积等于三角形 EFH 的面积，所以四边形 EGFH 的面积是 1234【巩固】(人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形 1 的面积与三角形 3 的面积比为 4 比 5，四边形2 的面积为 36，则三角形 1 的面积为_321321【解析】 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形
17、2 分成左右两边，其面积正好等于三角形 1 和三角形 3，所以 1 的面积就是 ，3 的面积就是 43615536204【 例 16】 如图，正方形 面积为 平方厘米， 是 边上的中点求图中阴影部分的面积ABCDMADGM DCBA【解析】 因为 是 边上的中点，所以 ，根据梯形蝴蝶定理可以知道:1:2AMBC，设 份，则 2:1:4AGBCGBSS （ ） （ ） 1AGMS 123MCDS份，所以正方形的面积为 份， 份，所以 ，所以432S阴 影 :阴 影 正 方 形平方厘米1阴 影【巩固】在下图的正方形 中， 是 边的中点， 与 相交于 点，三角形 的面积为 1 平DEAEBDFBEF
18、方厘米，那么正方形 面积是 平方厘米ABCAB CDEF【解析】 连接 ，根据题意可知 ，根据蝴蝶定理得 (平方厘米)，D:1:2BEAD21S梯 形 （ ）(平方厘米)，那么 (平方厘米)3ECS CS4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 10 of 17【例 17】 如图面积为 平方厘米的正方形 中， 是 边上的三等分点，求阴影部分的面12ABCD,EFC积OFED CBA【解析】 因为 是 边上的三等分点，所以 ，设 份，根据梯形蝴蝶定理可以知道, :1:3EFAB1OEFS份， 份， 份，因此正方形的面积为3AOEFBS 9AOBS ()DCS 份， ，所以 ，所以
19、平方厘米24(1)46阴 影 :6:24阴 影 正 方 形 3阴 影【例 18】 如图，在长方形 中， 厘米， 厘米， ，求阴影部分的面积CABBCADE FOBCADE FO【解析】 方法一：如图，连接 ， 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形 的面积为DE AED平方厘米2632由于 ，根据梯形蝴蝶定理， ，所以 ，而:1:EFC:3:1DEOFSA 34DEOEFSAA平方厘米，所以 平方厘米，阴影部分的面积为 平方厘DASA 32.54EA 21.53米方法二：如图，连接 ， ，由于 ，设 份，根据梯形蝴蝶定理，DFC:1:1OEFS份， 份， 份，因此3OEDS 2(13)6ES梯 形 34ADEBCS 份， 份，而 平方厘米，所以46ABC长 方 形 47阴 影 62AD长 方 形平方厘米.5阴 影【例 19】 (2008 年”奥数网杯”六年级试题)已知 是平行四边形， ，三角形 的B:3:2BCEODE面积为 6 平方厘米则阴影部分的面积是 平方厘米OEAB CDOEAB CD【解析】 连接 A由于 是平行四边形， ，所以 ，D:3:2:2:3AD根据梯形蝴蝶定理， ，所以 (平方24:69COEADOEASSA 6AOCS厘米)， (平方厘米)，又 (平方厘米)，阴影部分面积为9AOS6915BC(平方厘米)6152
