1、 page 1 of 7模型二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在 中， 分别是 上的点如图 (或 在 的延长线上， 在 上如图 2)，ABC ,DE,ABCDBAEAC则 :():()S EDCBAEDCBA图 图【例 1】 如图在 中， 分别是 上的点，且 ， ， 平方A ,DE,A:2:5ADB:4:7AEC16ADES厘米，求 的面积 EDCBAEDCBA【解析】 连接 ， ，:2:5(4):ADEBSA ，所以 ，设 份，:47()ABEC :(24):75ADEBCS 8ADES则
2、份， 平方厘米，所以 份是 平方厘米， 份就是 平方厘米， 的35 16 1230BC面积是 平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角70(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 三角形等高模型与鸟头模型page 2 of 7【巩固】如图，三角形 中， 是 的 5 倍， 是 的 3 倍，如果三角形 的面积等于 1，那ABCADCAEADE么三角形 的面积是多少？EDCBAAB CD E【解析】 连接 3EA BCES又 5D ， 15AABCS15ABCADES【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分， ， ， ，乙部分4BC3BE6A面积是甲
3、部分面积的几倍？乙乙ED CBAAB CDE乙 乙【解析】 连接 A ，36 ，E3ABDESA又 ，4C ， ， 2ABSACBDSAA5S乙 甲【例 2】 如图在 中， 在 的延长线上， 在 上，且 ， EAC:5:2BAD， 平方厘米，求 的面积:3:E12ADE EDCBAEDCBA【解析】 连接 ， :2:5(3):ADEBSA ，:3()5ABEC 所以 ，设 份，则 份， 平方厘2:6: 6ADES 25ABCS 12ADES米，所以 份是 平方厘米， 份就是 平方厘米， 的面积是 平方厘米由此我们得到10 0一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角
4、)两夹边的乘积之比【例 3】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点， ，三角形 AFE(图中阴影部分)的2AFC面积为 8 平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？page 3 of 7EFD CBA【解析】 连接 FB三角形 AFB 面积是三角形 CFB 面积的 2 倍，而三角形 AFB 面积是三角形 AEF 面积的 2倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的 3 倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积的 2 倍，所以平行四边形的面积是三角形 AFE 面积的 倍因此，平行四边形的面积为6（ ）(平方厘米)864【例 4】 已知 的面积为 平方厘米，
5、 ，求 的面积DEF 7,2,3BECADBFABC FEDCBA【解析】 ，:():()(1:23)1:6DEABCSBA 48FF : 设 份，则 份， 份， 份， 份，恰好是24ABC 4BDES ADFS 9CEFS 2497DEFS平方厘米，所以 平方厘米72AC【例 5】 如图，三角形 的面积为 3 平方厘米，其中 ， ，三角形 的面积:2:5B:3:BDE是多少？A B ECDDCEBA【解析】 由于 ，所以可以用共角定理，设 份， 份，则 份， 180B2AB3C5BE份，由共角定理 ，设325:():()(:)6:2ABCESED 份，恰好是 平方厘米，所以 份是 平方厘米，
6、 份就是 平方厘米，三6ACS 310.550.1角形 的面积是 平方厘米E.【例 6】 (2007 年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形 边长为 6 厘米， ，ABC3AEC三角形 的面积为_平方厘米13CFBDEFFEDCBApage 4 of 7【解析】 由题意知 、 ，可得 根据”共角定理”可得，13AEC13FB23CEA；而 ；所以 ；:():():():9CFBSA 6218ABCS 4CEFS同理得， ;， ，:2DEACS 81CDES DF故 (平方厘米 )41260FF 【例 7】 如图，已知三角形 面积为 ，延长 至 ，使 ；延长 至 ，使 ；延BE2B长 至 ，
7、使 ，求三角形 的面积C3 FEDCB AAB CDEF【解析】 (法 )本题是性质的反复使用1连接 、 AEC ， ，BDSA1AB C同理可得其它，最后三角形 的面积 DEF18(法 )用共角定理在 和 中， 与 互补，2CAACBFE 1428ABCFES又 ，所以 AFCESA同理可得 ， 6D3BD所以 18631EFAFBDESSAAA【例 8】 如图，平行四边形 ， ， ， ， ，平行四边形 的2CGDC4HAABCD面积是 ， 求平行四边形 与四边形 的面积比2 HHG A BCD EF HG A BCD EF【解析】 连接 、 根据共角定理ACB在 和 中， 与 互补， E
8、ABFE 13FBES又 ，所以 AC FBES同理可得 ， ， 8G 5DHG 8AEHS所以 15+326EFHACBFCDS page 5 of 7所以 21368ABCDEFGHS【例 9】 如图，四边形 的面积是 平方米， ， ， ， ，求四边形6EABCFDCGHDA的面积H GFED CBAA BCDE FGH【解析】 连接 由共角定理得 ，即:():()1:2BCDGFS 2CGFDBS 同理 ，即:1:2ABDHES 2AHEABDS 所以 ()CGF C 四 边 形连接 ，同理可以得到 DGF 四 边 形 5AHEHBEEF ABDABCDSS 四 边 形 四 边 形 四
9、边 形所以 平方米6513.2BCDS四 边 形【例 10】 如图，将四边形 的四条边 、 、 、 分别延长两倍至点 、 、 、 ，CEFGH若四边形 的面积为 5，则四边形 的面积是 FABCDEFGH ABCDEFGH【解析】 连接 、 AB由于 ， ，于是 ，同理 2E2FC4BEFABCS4DGACS于是 4FHDGABDSS再由于 ， ，于是 ，同理 339H9FBD于是 9AECCAB那么 41260FGHBFHDGAEFGCDABCAACSSS【例 11】 如图，在 中，延长 至 ，使 ，延长 至 ，使 ， 是 的 EBFA中点，若 的面积是 ，则 的面积是多少？A 2AB CD
10、EF【解析】 在 和 中， 与 互补，A F ABFC 241BCFESpage 6 of 7又 ，所以 2ABCS0.5FCESA同理可得 ， D 3BD所以 20.53.EFEADFS 【例 12】 如图， ， ， ， ， 求 1ABCS 54CGSEAFGFSASGF ED CBA【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的 种情况3最后求得 的面积为 FGS 42150FGS【例 13】 如图所示，正方形 边长
11、为 厘米， 是 的中点， 是 的中点， 是 的中点，ABCD8EADFCEGBF三角形 的面积是多少平方厘米？ABAB CDEFGAB CDEFG【解析】 连接 、 AE因为 ，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面21864BCFDS 积比等于夹这个角的两边长度的乘积比” ， ，再根据”当两个三角形有一个角相8AEFSEFGA等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比” ，得到 ，16BFCSA， ，所以 平方厘米32ABFESABFS12ABG【例 14】 四个面积为 的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积1HGF EDCBA【解析】 如图，将原图扩展
12、成一个大正三角形 ，则 与 都是正三角形EFAEH假设正六边形的边长为为 ，则 与 的边长都是 ，所以大正三角形 的边长为aAC4aDEF，那么它的面积为单位小正三角形面积的 49 倍而一个正六边形是由 6 个单位小正三4217角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为 ，三角形 的面积为 16F49page 7 of 7由于 ， ，所以 与三角形 的面积之比为 4FAa3BAFBDEF431279同理可知 、 与三角形 的面积之比都为 ，所以 的面积占三角形 面DCE129ABCDEF积的 ，所以 的面积的面积为 1249436【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是 1，则图中虚线围成的五边形 的面积是 DE BDCEA【解析】 从图中可以看出，虚线 和虚线 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正ABC六边形的面积；虚线 和虚线 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一DE个正六边形的面积；虚线 外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的 ，所以虚线外图形的面积等于 ，所以五边形的面积16 1326是 203
