1、朱老师初二（上）数学辅导讲义- 1 -第三讲 全等三角形的相关模型【要点梳理】要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点 结论：（1）ABD AEC （2）+BOC=180（3）OA 平分BOC变形：要点二：角平分线模型特点：由角平分线构成了的两个三角形。结论：（1）AFGAEG （2）FG=GE变形：朱老师初二（上）数学辅导讲义- 2 -要点三：半角模型特点： 结论：（1）MN=BM+DN （2）CMN 的周长=2AB （3）AM、AN 分别平分BMN 和DNM变形：要点四：等腰直角三角形模型1.在斜边上任取一点的旋转全等操作过程：（1）将ABD 逆时针
2、旋转 90，使ACMABD，从而推出ADM 为等腰直角三角形。（2）过点 C 作 BCMC，连 AM 导出上述结论2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等操作过程：连 AD. （1）使 BF=AE（或 AF=CE） ，导出BDFADE（2）使EDF+BAC=180，导出BDFADE3.将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：要点五：双垂直模型特点：图形中包含两条垂线，且有一组边或角相等。结论：若 AD=BD,则 BH=AC变形：1=2，则 AE=AF 1=2， BAP=DAP，则 AE=AF，APCF朱老师初二（上）数学辅导讲义- 3 -要点六：三垂直模型特点：图形中包含三条垂线，且有
3、一组边。结论：（1）ABEBCD （2） ED=AE-CD变形：要点七：全等三角形问题中常见的辅助线的作法1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形。2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形。3.遇到角平分线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线；（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形；（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，
4、构造一对全等三角形。以上利用的思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形。4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 。5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6.已知某线段的垂直平分线，可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，形成一对全等三角形。7.在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。【典型例题】例 1（
5、手拉手模型）：如图，点 C 为线段 AB 上一点，ABC、CDE 是等边三角形，请你证明：。（1）AD=BE （2）ACB=AOB （3）PCQ 为等边三角形 （4）PQAE 朱老师初二（上）数学辅导讲义- 4 -（5）AP=BQ （6）CO 平分AOE （7）OA=OB+OC （8）OE=OC+OD例 2（角平分线模型）：如图，已知1=2，3=4，求证：AP 平分BAC。举一反三：1、如图，在四边形 ABCD 中，BCAB，AD=CD，BD 平分 BAC，求证A+C=1802、如图，在ABC 中，ABC=3C，AD 是BAC 的平分线，BEAD 于 F。求证：3、ABC 中，BAC=60，C
6、=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。例 3（半角模型）：在正方形 ABCD 中，若 M、N 分别在边 BC、CD 上移动，且满足 MN=BM +DN，求证：MAN=45；CMN 的周长=2AB；AM、AN 分别平分BMN 和DNM举一反三：1、 在正方形 ABCD 中，已知MAN=45，若 M、N 分别在边 CB、DC 的延长线上移动：试探究线段 MN、BM 、DN 之间的数量关系；求证：AB=AH. 朱老师初二（上）数学辅导讲义- 5 -2、在四边形 ABCD 中，B+D=180，AB=AD，若 E、F 分别在边 BC
7、、CD 且上，满足 EF=BE+DF.求证：例 4（等腰直角三角形模型）： 等腰直角ABC 中，BAC=90 ，点 M、N 在斜边 BC 上滑动，且MAN=45，试探究 BM、MN、CN 之间的数量关系。举一反三：1、两个全等的含 30、60角的三角板 ADE 和三角板 ABC，如图所示放置，E、A、C 三点在一条直线上，连接 BD，取 BD 的中点 M，连接 ME、MC，试判断EMC 的形状，并证明你的结论。2.如图，在等腰直角ABC 中，AC=BC，ACB =90，P 为ABC 内部一点，满足PB=PC，AP=AC。求证：BCP=15例 5(双垂线模型)：如右图，ABC 中，ABC =45
8、，AC=4，H 是高 AD 和 BE 的交点，则线段 BH 的长度为 。举一反三：1、如图 14-1，在ABC 中，BC 边在直线 L 上，ACBC,且 AC=BC。EFP 的边 FP 也在直线 L 上，边 EF 与 AC 重合，且 EF=FP.(1)猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP 沿直线 L 向左平移至图 14-2 的位置时，EP 交 AC 于点 Q，连接 AP、BQ，则 BQ 与 AP 满足什么样的数量关系和位置关系，请猜想并证明；（3）将EFP 沿直线 L 向左平移至图 14-3 的位朱老师初二（上）数学辅导讲义- 6 -置时，EP 的延长线交 A
9、C 的延长线于点 Q，连接 AP、BQ，你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系还成立吗？例 6（三垂线模型）：如图所示，在ABC 中，AB=AC，BAC =90，D 为 AC 中点，AFBD 于E，交 BC 于 F，连接 DF.求证：ADB=CDF. 举一反三：1、 如图所示，在ABC 中，AB=AC，AM=CN，AFBM 于 E，交 BC 于 F，连接 NF.求证：ADB=CDF； BM=AF+FN2、如图所示，在ABC 中，AB=AC，AM=CN，AFBM 于 E，交 BC 于 F，连接 NF，并分别延长 BM 和 FN 交于点 P.求证：PM=PN； PBPF+AF
10、【巩固练习】1、 如图，在四边形 ABCD 中，B+D=180，BC=CD， ，求证：AC 平分 BAD.朱老师初二（上）数学辅导讲义- 7 -2、如图,ABAC，A 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D，自 D 作 DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F求证：BE=CF3、如图所示，在ABC 中，BC 边的垂直平分线 DF 交BAC 的外角平分线 AD 于点 D，F 为垂足，DEAB 于 E，并且 ABAC。求证：BEAC=AE。4、如图，D、E、F 分别是ABC 的三边上的点，CE=BF，且DCE 的面积与DBF 的面积相等，求证：AD 平分BAC。5、如图，ABC 是等腰直角三角形，
11、BAC=90，BD 平分ABC 交 AC 于点 D， CE 垂直于BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。6、如图，在ABC 中，BAC 的角平分线 AD 交 BC 于 D，且 AB=AD, 作 CMAD 的延长线与 M，求证：7、如图，在ODC 中，D=90，CE 是DCO 的角平分线，且 OECE，过点 E 作 FFOC 交 OC于点 F，猜想：线段 OD 与 EE 之间的关系，并证明 。朱老师初二（上）数学辅导讲义- 8 -8、如图， BD、C E 分别是ABC 的外角平分线，过点 A 作 ADBD,AECE, 垂足分别是D、E，连接 DE.求证：（1）DEBC，且（2）若
12、 BD、CE 分别是ABC 的内角平分线（如图 2） ，其他条件不变，则线段 FG 与ABC三边又有怎样的数量关系？（3）若 BD 为ABC 的内角平分线，CE 为ABC 的外角平分线（如图 3） ，则线段 FG 与ABC 三边又有怎样的数量关系？9、如图，在ABC 中，AD 是 BAC 的外角平分线，P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，试比较 PB+PC与 AB+AC 的大小，并说明理由。10.如图，RtABC 中，AB=AC，BAC =90，O 为 BC 中点，若 M、N 分别在线段 AC、AB 上移动，且在移动中保持 AN=CM. （1）判断OMN 的形状，并证明你的结论. (2)当
13、 M、N 分别在线段 AC、AB 上移动时，四边形 AMON 的面积如何变化？11. 在正方形 ABCD 中，BE=3 ，EF=5 ，DF=4 ，求BAE+DCF=?朱老师初二（上）数学辅导讲义- 9 -13. 如图，在ABC 中，AC=BC，ACB =2ABC，P 为ABC 内部一点，满足 PB=PC，AP=AC。求证： 2 =2114.如图，在四边形 ABCD 中，B=D=90，AB=AD，若 E、F 分别在边 BC、CD 上的点，且 求证：EF=BE +DF.15. 如图 ADBC，ABE 和CDF 是等腰直角三角形，EAB=CDF=90 ，AD=2，BC=5，求四边形 AEDF 的面积。
