1、 洗手 数值分析 洗手 洗手 洗手 洗手 学 号 ： beef130080402015 洗手 洗手 学生所在学院 ： beef测试与光电工程学院 洗手 洗手 学 生 姓 名 ： b eef张翀 洗手 洗手 任 课 教 师 ： b eef郑华盛 洗手 洗手 教师 所在学院 ： beef数信学院 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 基于 Matlab 的数值积分公式问题 洗手 洗手 张翀 ， 吃饭 测试与光电工程学院 测试计量技术及仪器 ， 吃饭 130080402015 洗手 洗手 洗手 摘 要 ： bef在求一些函数的 定积分 时 ， 吃饭 由于原函数十分复
2、杂难以求出或用初等函数表达 ， 吃饭 导致积分很难精确求出 ， 吃饭 只能设法求其近似值 ， 吃饭 因此能够直接借助牛顿 -莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的 。 洗手 数值积分就是解决此类问题的一种行之有效的方法 。 洗手 积分的数值计算是数值分析的一个重要分支 ； beef因此 ， 吃饭 探讨近似计算的数值积分方法是有着明显的实际意义的 。 洗手洗手 本文介绍了数值积分法的几种计算公式 ， 吃饭 如矩形 求积公式 、 beef梯形 求积公式和 辛普森 求积公式 及相应的 MATLAB 命令 ,并给出了用 MATLAB 编程求数值积分的实例 。 洗手洗手 关键词 : MATLAB； b e
3、 ef数值积分 ； beef矩形 求积公式 ； beef梯形 求积公式 ； beef辛普森 求积公式 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 目录 洗手 洗手 1 引言 .1 洗手 2 数值积分算法介绍 .1 洗手 2.1 数值求积公式的构造 .1 洗手 2.2 求积公式的推导 .2 洗手 2.3 常 见的牛顿 -科特斯求积公式 .5 洗手 2.4 复合求积公式 .7洗手 3关于河流横断面积的数值积分问题 .8 洗手 4问题的求解过程 .9 洗手 5 基于 MATLA
4、B 编程的各种求积公式 对问题的求解 .9洗手 6总结 .13 洗手 参考文献 .14洗手 附录 .15洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗 手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 洗手 1 1 引言 洗手 实际问题当中常常需要计算积分 。 洗手 有些数值方法 ， 吃饭 如微分方程和积分方程的求解 ， 吃饭 也都和积分计算相联系 。 洗手洗手 在一元微积分学中 ,对于积分 洗手 ba dxxfI )(， 吃饭 洗手 只要找到被积函数 f（ x）原函数为 F( x) ,求 f(x)在该区间上的定积分便可用牛顿 - 莱布尼兹公式求解 ,即 洗手 ba aFbFdxxf )()()(。
5、 洗手洗手 用牛顿 - 莱布尼兹公式计算定积分的方法在理论上和解决实际问题中起到了很大的作用 ,但它并不能解决定积分计算的所有问题 。 洗手 在工程技术领域常遇到十分复杂的情况而无法用牛顿 - 莱布尼兹公式求解 .其可能出现的情况有 :洗手 某些被积函数 f(x),其原函数无法用初等函数表示 ,如 洗手 dxex2， 吃饭 dxxxsin等 。 洗手洗手 函数 f(x)结构复杂 ,求其原函数非常困难 。 洗手洗手 函数 f(x)的结构虽然简单且其原函数存在 ,但其原函数的结构相对复杂 。 洗手洗手 函数 f(x)没有具体的表达式 ,只有一些由试验测试数据形成的表格或图形 。 洗手洗手 而在这些
6、情况下 ,可采用 “数值积分”的方法求出定积分 (近似值 ) 。 洗手洗手 2 数值积分算法介绍 洗手 2.1 数值求积公式的构造 洗手 大多数实际问题的积分是需要用数值积分方法求出近似结果的 。 洗手 数值积分原则上可以用于计算各种被积函数的定积分 ， 吃饭 无论被积函数是解析形式还是数表形式 ，吃饭 其基本原理都是用多项式函数近似代替被积函数 ， 吃饭 用多项式的积分结果近似代 替对被积函数的积分 。 洗手 由于所选多项式形式的不同 ， 吃饭 可以有许多种数值积分方法 。洗手 而利用插值多项式来构造数值求积公式是最常用的一种方法 。 洗手洗手 对于积分 ()ba f xdx， 吃饭 用一个
7、容易积分的函数 ()x 去代替被积函数 ()fx， 吃饭 这样的2 ()x 自然以多项式 ()nLx为最佳 ， 吃饭 因为多项式能很好的逼 近任何连续函数 ， 吃饭 而且容易求出其原函数 。 洗手洗手 洗手 2.2 求积公式的推导 洗手 在积分区间 , ab 上取有限个点 01 na x x x b ， 吃饭 作 ()fx的 n 次插值多项式0( ) ( ) ( )nn k kL x f x l x ， 吃饭 其中 ， 吃饭 ( )( 0,1, , )kl x k n 为 n 次 插值基函数 。 洗手 用 ()nLx近似代替被积函数 ()fx， 吃饭 洗手 则得 洗手 0( ) ( ) ( )
8、 ( )nb b bn k ka a akf x d x L x d x f x l x d x （ 2.1）洗手 若记 洗手 0 1 10 1 1( ) ( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) ( )bb k k nkkaa k k k k k k nx x x x x x x xA l x d x d xx x x x x x x x （ 2.2） 洗手 则得数值求积公式 洗手 0( ) ( )nb kkakf x d x A f x （ 2.3） 洗手 其中 kA 称为求积系数 ， 吃饭 kx 称为求积节点 。 洗手 则称该求积公式为插值型求积公式 。 洗手洗手 为了便于计算
9、与应用 ， 吃饭 常将积分区间的等分点作为求积节点 ， 吃饭 这样构造出来的插值型求积公式就称为牛顿 -科特斯求积公式 。 洗手洗手 在积分区间 , ab 上取 1n 个等距节点 kx a kh ( 0,1, )kn ， 吃饭 其 中 bah n ， 吃饭做 n 次拉格朗日插值多项式 ()nLx， 吃饭 因为 ( ) ( ) ( )nnf x L x R x， 吃饭 所以 洗手 ( ) ( ) ( )b b bnna a af x d x L x d x R x d x 洗手 ( 1 ) 101( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !n bb nk k naak f x l x d x f
10、 x d xn 洗手 记 洗手 3 11()() ( ) ( )bb nkkaa k n kxA l x d x d xx x x （ 2.4） 洗手 ( 1 ) 11 ( ) ( )( 1 ) ! b nnnaR f f x d xn （ 2.5） 洗手 截去第二项得0( ) ( )nbkka kf x d x A f x 洗手 显然 kA 与 ()fx无关 ， 吃饭 只与节点 ( 0,1, , )kx k n 有关 。 洗手 令 x a th ， 吃饭 则当 ,x ab时 ， 吃饭 0,tn ， 吃饭 于是 洗手 111( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )nnnx a th h
11、t t t t n （ 2.6） 洗手 而 1 0 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n k k k k k k k k nx x x x x x x x x x x 洗手 !( 1) ( ) !n n kh k n k 洗手 从而得 0( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )! ( ) !nk nk hA t t t k t k t n d tk n k 洗手 记 洗手 () 0( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )! ( ) !nk nnkC t t t k t k t n d tk n k n （ 2.7） 洗手 则 ()() nkkA
12、 b a C 洗手 故求积公式（ 2.3）可写成 洗手 ()0( ) ( ) ( )nb nkka kf x d x b a C f x （ 2.8）洗手 这就是牛顿 -科特斯求积公式 ， 吃饭 其中 ()nkC 称为科特斯系数 。 洗手洗手 部分科特斯系数取值如下表 2.1 洗手 科特斯系数具有以下特点 洗手 （ 1） ()0 1n niC （ 2） ( ) ( )nni n iCC 洗手 （ 3）当 n 8 时 ， 吃饭 出现负数 ， 吃饭 稳定性得不到保证 。 洗手 而且当 n 较大时 ， 吃饭 由于 Runge4 现象 ， 吃饭 收敛性也无法保证 。 洗手 故一般不采用高阶的牛顿 -科
13、特斯求积公式 。 洗手 （ 4）当 n 7 时 ， 吃饭 牛顿 -科特斯公式是稳定的 。 洗手洗手 表 2.1 部分科特斯系数 表 洗手 洗手 知道了什么是牛顿 -科特斯求积公式 ， 吃饭 下面我们来看它的误差估计 ， 吃饭 首先来看看牛顿 -科特斯求积公式的截断误差 。 洗手 我们知道牛顿 -科特斯求积公式是一个插值型数值求积公式 ， 吃饭 当用插值多项式 ()nLx代替 ()fx进行积分时 ， 吃饭 其截断误差 Rf即积分真值 I 和近似值之差 ， 吃饭 推导如下 洗手 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b bnna a a aR f I f x d x f x d x L x
14、 d x f x L x d x ， 吃饭 由插值多项式的误差估计可知 ， 吃饭 用 n 次拉格朗日多项式 ()nLx逼近函数时产生的误差为 洗手 ( 1 )1()( ) ( ) ( )( 1 ) !nbnna ff x L x x d xn （ 2.9） 洗手 其中1 0( ) ( ) , ( , )niinx x x a b 。 洗手 对上式两边从 a 到 b 作定积分 ， 吃饭 便可得出它的截断误差 洗手 ( 1 ) 11 ( ) ( )( 1 ) ! b nnnaR f f x d xn （ 2.10） 洗手 洗手 5 2.3 常见的牛顿 -科特斯求积公式 洗手 2.3.1 矩形求积公
15、式 洗手 在牛顿 -科特斯求积公式中 ， 吃饭 如果取 0n 错误 !未找到引用源。 ， 吃饭 用零次多项式（即常数）代替被积函数 ， 吃饭 即用矩形面积代替曲边梯形的面积 ， 吃饭 则有 洗手 ( 0 )0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bbaaf x d x L x d x b a c f x b a f x （ 2.11） 洗手 称式（ 2.11）为矩形求积公式 洗手 根据牛顿 -科特斯求积公式的误差理论式 (1.10) ， 吃饭 矩形求积公式的误差估计为 洗手 ( 0 1 )0 0 1()( ) ( ) ( ) ( )(0 1 ) ! bafR f x d x
16、 f b a 洗手 2.3.2 梯形求积公式 洗手 在牛顿 -科特斯求积公式中 ， 吃饭 如果取 1n 错误 !未找到引用源。 ， 吃饭 用一次多项式代替被积函数 ， 吃饭 即用梯形面积代替曲边梯形的面积 ， 吃饭 则有 洗手 ( 1 ) ( 1 )1 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bbaaf x d x L x d x b a c f x c f x 洗手 其中 ， 吃饭 0( ) ( )f x f a 错误 !未找到引用源。 , 1( ) ( )f x f b 查表可得 (1) (1)0112cc错误 !未找到引用源。 代入上式得出 洗手 1 ()( ) ( ) (
17、 ) ( ) 2bbaa baf x d x L x d x f a f b （ 2.12） 洗手 称式（ 2.12）为梯形求积公式 洗手 由于用一次多项式 1()Lx错误 !未找到引用源。 近似代替被积函数 ()fx， 吃饭 错误 !未找到引用源。 所以它的精度是 1。 洗手 也就是说 ， 吃饭 只有当被积函数是一次多项式时 ，吃饭 梯形求积公式才是准确的 。 洗手洗手 根据牛顿 -科特斯求积公式的误差理论式（ 2.10） ， 吃饭 梯形求积公式的误差估计为 洗手 ( 2 ) 31 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( 2 ) ! 1 2baf b aR f x a x b d x
18、 f 洗手 ()f 错误 !未找到引用源。 是被积函数 ()fx错误 !未找到引用源。 二阶导数在x 错误 !未找到引用源。 点的取值 ， 吃饭 , ab 错误 !未找到引用源。 洗手 2.3.3 辛普森求积公式 洗手 错误 !未找到引用源。 在牛顿 -科特斯求积公式中 ， 吃饭 如果取 2n 错误 !未找到引用6 源。 ， 吃饭 用二次多项式代替被积函数 ， 吃饭 即曲边用抛物线代替 ， 吃饭 则有 洗手 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )2 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bbaaf x d x L x d x b a c f x c f x c f
19、x 洗手 其中 ， 吃饭 0xa ， 吃 饭1 2abx ， 吃饭 2xb 错误 !未找到引用源。 ,查表可得 错误 !未找到引用源。 ， 吃饭 (2)1 23c ， 吃饭 代入上式得出 洗手 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 3 2 6bbaa abf x d x L x d x b a f a f f b （ 2.13） 洗手 称式（ 2.13）为辛普森求积公式 ， 吃饭 也称抛物线求积公式 。 洗手 它的几何意义是 ： beef用过3 个点 ( , ( )a f a ， 吃饭 ( , ( )22a b a bf， 吃饭 ( , ( )b f b 错误 !未
20、找到引用源。 的抛物线和xa ， 吃饭 xb 错误 !未找到引用源。 构成的曲边梯形面积 ， 吃饭 近似地代替了被积函数 ()fx错误 !未找到引用源。 形成的曲边和 xa ， 吃 饭 xb 错误 !未找到引用源。 构成的曲线梯形面积 。 洗手洗手 下面对辛普森求积公式的误差进行估计 。 洗手 由于辛普森求积公式是用二次多项式逼近被积函数推得的 ， 吃饭 原则上它的代数精度为 2.但因多项式次数是偶数 ， 吃饭 根据定理 1.1 可知 ， 吃饭 它的代数精度为 3洗手 过 ( , ( )a f a ， 吃饭 ( , ( )22a b a bf和 ( , ( )b f b 错误 !未找到引用源。
21、 3 个点 ， 吃饭 构 造一个()fx错误 !未找到引用源。 的三次 Lagrange 插值多项式 3()Lx错误 !未找到引用源。 ,且使3 ( ) ( )22a b a bLf 错误 !未找到引用源。 。 洗手 根据 Lagrange 插值余项定理得 洗手 ( 4 ) ( 4 ) 234 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 ! 4 ! 2f f a bf x L x x x a x x b , ab 洗手 对上式两边从 a 错误 !未找到引用源。 到 b 错误 !未找到引用源。 进行积分 ， 吃饭 即可得到 洗手 ( 4 ) 223 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )4 ! 2bbaa abR f f x L x d x f x a x x b d x （ 2.14） 洗手 根据定积分中值定理可知 ， 吃饭 在 , ab 错误 !未找到引用源。 上总有一点满足下述关系 ： b eef洗手 ( 4 ) 2( ) ( ) ( ) ( )2ba abf x a x x b d x 洗手
