必修一函数剖析大全与题型分类.doc

1、盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组1函 数2.1 函 数 题 型 分 类 原 则 总 述函 数 考 题 的 已 知 条 件 和 问 题 的 现 象 比 较 复 杂 ， 为 了 建 立 简 洁 的 思 路 体 系 ， 最 好 是 以 函 数 的 概 念 为 载 体 ，从 学 习 知 识 的 程 序 上 建 立 线 索 ， 按 共 同 的 条 件 现 象 或 问 题 现 象 进 行 题 型 分 类 。函 数 ： 两 个 集 合 之 间 按 照 某 种 对 应 法 则 的 一 个 映 射 。函 数 的 三 大 考 点 ： 独 立 的 一 个 函 数 可 根 据 定 义

2、 分 四 大 考 点一 、 映 射 与 函 数 的 概 念 ： 判 断 对 应 关 系 是 不 是 映 射 （ 函 数 ）， 求 两 集 合 能 形 成 映 射 的 个 数二 、 定 义 域 ， 值 域 ：只 要 提 到 “最 大 值 ”， “最 小 值 ”， “取 值 范 围 ”首 先 联 想 求 定 义 域 值 域 的 方 法 。 高 中 阶 段 定 义 域 有 2 种 题 型 ， 值域 有 4 种 题 型 ， 详 见 下 文 知 识 讲 解 。三 、 对 应 法 则 ： 即 y 与 x 的 对 应 关 系 。 这 个 定 义 很 抽 象 ， 抽 象 的 概 念 不 会 直 接 考 察 。

3、它 的 两 种 具 体 表 示 形 式 解 析 式 图 像 ， 是 函 数 的 核 心 考 点 。两 个 函 数 的 关 系 ： 主 要 研 究 原 函 数 与 反 函 数 的 关 系 ， 反 函 数 作 为 函 数 的 第 四 个 考 点 在 高 考 中 几 乎 必 考1 题 。四 、 反 函 数 ： 主 要 考 求 反 函 数 ， 或 利 用 原 反 函 数 定 义 域 值 域 、 单 调 性 、 奇 偶 性 、 对 称 性 关 系 解 题 。2.2 映 射 与 函 数 的 基 本 概 念一 、 映 射1、 概 念 ： A 集 合 中 的 每 个 元 素 按 照 某 种 对 应 法 则 在

4、 B 集 合 中 都 能 找 到 唯 一 的 元 素 和 它 对 应 ， 这 种 对 应 关 系 叫 做 从A集 合 到 B 集 合 的 映 射 。 A 中 的 元 素 叫 做 原 象 ， B 中 的 相 应 元 素 叫 做 象 。在 A 到 B 的 映 射 中 ， 从 A 中 元 素 到 B 中 元 素 的 对 应 ， 可 以 多 对 一 ， 不 可 以 一 对 多 。盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组2图 2-1 是 映 射 图 2-2 是 一 一 映 射 图 2-3 不 是 映 射映 射 概 念 题 型 ：（ 一 ） 求 映 射 （ 或 一 一 映 射 ）

5、 的 个 数 ，若集合 A 有 n 个元素，集合 B 有 m 个元素，则 A 到 B 的映射有 mn 个（ 二 ） 判 断 是 映 射 或 不 是 映 射 ： 可 以 多 对 一 ， 不 可 以 一 对 多 。二 、 函 数 的 概 念定 义 域 到 值 域 的 映 射 叫 做 函 数 。 如 图 2-4。 高 中 阶 段 ， 函 数 用 f(x)来 表 示 ： 即 x 按 照 对 应 法 则 f 对 应 的 函 数 值 为f(x) 函 数 有 解 析 式 和 图 像 两 种 具 体 的 表 示 形 式 。 偶 尔 也 用 表 格 表 示 函 数 。函 数 三 要 素 ： 定 义 域 A： x

6、 取 值 范 围 组 成 的 集 合值 域 B： y 取 值 范 围 组 成 的 集 合对 应 法 则 f： y 与 x 的 对 应 关 系 。三 种 表 示 形 式 ： 解 析 式 、 图 像 、 列 表 函 数 与 普 通 映 射 的 区 别 在 于 ： （ 1） 两 个 集 合 必 须 是 数 集 ； （ 2） 不 能 有 剩 余 的 象 ， 即 每 个 函 数 值 y 都 能 找 到 相 应 的 自 变 量 x 与 其 对 应 。 图 2-4函 数 概 念 的 题 型 ：（ 一 ） 判 断 是 否 是 函 数 ，有 三 种 现 象 ： 判 断 映 射 是 否 是 函 数 判 断 解 析

7、 式 是 否 是 函 数 判 断 图 像 是 否 是 函 数 。需 从 两 个 方 面 判 断 ： 每 个 x 是 不 是 只 对 应 一 个 y， 或 定 义 域 是 否 对 应 。 有 没 有 剩 余 的 象 ， 或 值 域 是 否 对 应 。（ 二 ） 函 数 解 析 式 意 义 的 识 别 ： 考 查 能 否 读 懂 题 目 。 分 段 函 数 ： 就 是 分 情 况 的 函 数 ， 需 分 情 况 使 用 解 析 式 。 复合函数： 设 f(x)=2x3 g(x)=x2+2 则称 fg(x)（或 gf(x)）为复合函数。fg(x)=2(x2+2)3=2x2+1； gf(x)=(2x3

8、)2+2=4x212x+11创 新 定 义 的 对 应 法 则 (运 算 法 则 )： 对 照 使 用 或 递 推 ， 需 要 累 积 创 新 题 型 的 出 题 现 象 。题型分类第一部分 映射与函数基本概念（一）映射的基本概念1、设 是集合 A 到 B 的映射，下列说法正确的是 （ ）f:A、A 中每一个元素在 B 中必有象 B、B 中每一个元素在 A 中必有原象C、B 中每一个元素在 A 中的原象是唯一的 D、B 是 A 中所在元素的象的集合2、 从集合 A 到 B 的映射中，下列说法正确的是 （ ） 盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组3A.B 中某一元素

9、 的原象可能不只一个 B.A 中某一元素 的象可能不只一个b aC.A 中两个不同元素的象必不相同 D.B 中两个不同元素的原象可能相同3.在映射 f:AB 中，下列说法中不正确的说法为( )集合 B 中的任一元素，在集合 A 中至少有一个元素与它相对应；集合 B 中至少存在一元素在集合 A 中无原象；集合 B 中可能有元素在集合 A 中无原象；集合 B 中可能有元素在集合 A 中的原象不至一个.A. B. C. D.4.在下列对应中，是 A 到 B 的映射的有 m 个，一一映射的有 n 个.AxxN ，B-1,1 ，对应法则 f:x(-1) x；AxxR ，By yR + ，对应法则 f:x

10、y x；AxxN ，ByyR ，对应法则 f:xy ；Axx2 ，Byy2 ，对应法则 f:xy-x 2+2x+2；AxxR ，By yR ，对应法则 f:xy .1x则 m、n 的值分别为( )A.2、0 B.2、 1 C.3、1 D.3、25.已知集合 A= ， B= ,下列从 A 到 B 的对应 不是映射的是 （ ） 4x20yf(A) (B)yf21:xyf3:(C) (D) 3 2816.已知四个从集合 A 到集合 B 的对应(如下图) ，那么集合 A 到集合 B 的映射是( )A.B.C. D.7.下图表示的是从集合 X 到集合 Y 的对应，其中能构成映射的是 ( )盛阳教育SHE

11、NG YANG EDUCATION 高中部数学学科组48.设集合 A 和 B 都是自然数集合 N，映射 f:AB 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 2n+n，则在映射 f 下，象 20 的原象是( )A.2 B.3 C.4 D.59.设集合 A 和 B 都是坐标平面上的点集(x,y)xR，yR ，映射 f:AB 使集合 A 中的元素(x,y)映射成集合 B 中的元素(x+y,x-y)，则在映射 f 下象(2 ，1)的原象是( )A.(3，1) B.( ， ) C.( ，- ) D.(1，3)32132110.填空题(1)从集合 A 1，2到 B a，b的映射 f 个数为 ，一

12、一映射个数为 (2)从集合 A 1,2,3到 B a，b，c的一一映射 f 的个数为 .(3)设 A 到 B 的映射为 f1：xu 3x-2，B 到 C 的映射为 f2：uyu 2-4，则 A 到 C 的映射 f3 是 .（二）函数1.判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？ 3)5(xy 52xy 11 )1( f)( 2()gx x3F 21)5()f 52)(xf盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组52.已知：f(x)=x 2x+3 求： f( ) f(x+1)x13对于一切实数 x，令x为不大于 x 的最大整数，则函数 f(x)=x称为高斯函数或取

13、整函数计算 f(-0.3)+f(1)+f(1.3)= 。2.3 定 义 域 与 值 域凡 在 考 题 中 出 现 最 大 值 、 最 小 值 、 取 值 范 围 三 种 现 象 时 ， 十 之 有 八 九 是 求 函 数 定 义 域 与 或 值 域 。 首 选 用 求 定 义域 或 值 域 的 方 法 解 题 ， 其 次 再 选 择 用 均 值 不 等 式 、 几 何 意 义 或 实 际 意 义求 范 围 和 最 值 。2.3.1 定 义 域 题 型一 具 体 函 数 ： 即 有 明 确 解 析 式 的 函 数 ， 定 义 域 的 考 查 有 两 种 形 式（ 一 ） 直 接 考 查 ： 主

14、要 考 解 不 等 式 。 利 用 ： 整式的定义域为 R，在 中 ； 在 中 ，()fx偶 0f()gxf； 在 中 ， ； 列 不 等 式 求 解 。()0fx0()fx()0f（ 二 ） 间 接 考 查 ： 主 要 是 让 考 生 在 化 简 变 形 的 过 程 中 ， 忽 略 定 义 域 的 存 在 而 把 题 做 错 。 解 决 问 题 的 方 法 是 养 成习 惯 ， 碰 到 根 号 、 分 母 、 对 数 符 号 等 ， 首 先 就 要 考 虑 有 取 值 范 围 的 限 制 。 解 题 后 检 验 结 果 是 否 符 合 定 义 域 。二 抽 象 函 数 ： 只 要 对 应 法

15、 则 相 同 ， 括 号 里 整 体 的 取 值 范 围 就 完 全 相 同 。第二部分、定义域（一）有解析式的函数经典例题：1、求下列函数的定义域：（1） （2） 2153xy 21()xy（3） （4） 234()1xy 0(1)xy盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组6（5） （6）23xy 216xyx2.已知函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，则( )1()xfAyfxBAB()B()C)DA（二）无解析式的函数（抽象函数）1. 已知 的定义域为0，1，求 的定义域。()fx2()fx2. 已知 的定义域为-2，3 ，求 的定义域。(1)fx1(2)

16、fx3、设函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 ；函数 的定义域为fx()01， fx()2 fx()2_； 4、若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是 ；函数 的定义(1)fx23， (21)fx1(2)fx域为 。5、已知函数 的定义域为 ，且函数 的定义域存在，求实数 的取fx()1,()()Fxfmfxm值范围。盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组72.4 函 数 解 析 式 的 题 型2.4.1 函 数 解 析 式 和 对 应 法 则 的 识 别主 要 考 查 抽 象 函 数 、 分 段 函 数 和 复 合 函 数 。一 、 抽 象 函 数 ： 即

17、没 有 具 体 解 析 式 的 函 数 。主 要 考 查 ： 抽 象 函 数 的 递 推 方 程 中 递 推 规 律 的 识 别 ， 例 如 ： ()2)fx二 、 分 段 函 数 ： 即 分 情 况 的 函 数 ， 不 同 情 况 解 析 式 不 同 。三 、 复 合 函 数 ： 即 把 函 数 整 体 作 为 自 变 量 再 放 到 解 析 式 里 的 函 数 ， 例 如 。2(logfx四 、 创 新 定 义 的 对 应 法 则 (运 算 法 则 )： 对 照 使 用 或 递 推 ， 需 要 累 积 创 新 题 型 的 出 题 现 象 。2.4.3 求 函 数 解 析 式一 、 换 元

18、法 ： 如 f(2x + 3)=x2 + 3x + 5， 求 f(3-7x)， （ 设 2x + 3=3-7t） 。二 、 构 造 法 ： 如 ， 求 f(x)。21三 、 待 定 系 数 法 ： 通 过 图 像 求 出 y=Asin(x + ) + C 中 系 数四 、 递 推 ： 需 利 用 奇 偶 性 、 对 称 性 、 周 期 性 的 定 义 式 或 运 算 式 递 推 。五 、 求 原 函 数 的 反 函 数 ： 先 反 表 示 ， 再 x、 y 互 换 。第四部分、解析式的求法(一).换元法1若函数 ，求则2()1fx2()fx2若函数 ，求 .2()3f (1)f3若 ， ，则

19、的表达式为（ ）()fx()(gxf()gx（A）2x+1 （B ）2x1 （C）2x3 （D）2x+74已知 )1(xf，则函数 )(xf的解析式为 （ ）（A） 2 （B） )1()(2xf （C） )()(xxf （D） 盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组85已知 32)1(xf，且 6)(mf，则 等于 （ ）（A） 4 （B） 41 （C） 23 （D） 236 （湖北卷理 3）已知 21xf，则 )(f的解析式可取为（ ）（A） 21x （B）（C） 21x （D） 21x（二）构造法1.若 ，则函数 =_21()fxx(1)fx2、已知 ，求 ；3

20、1()fxx()f3、已知 ，求 f(x)。2)(f（三）待定系数法求解析式1. 已知 是二次函数，且 ，求 的解析式。()fx 2(1)()4fxfx()fx. 2、已知 是一次函数，且 =4x+3，求 。()fx()fx()fx3. 已知 是一次函数，且满足 ，求 ；()fx3(1)2()17fxfx()fx盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组9（四）利用性质递推求解析式1已知 是奇函数， 是偶函数，且 + = ，则 = ()fx()gx()fxg1()fx2已知函数 与 的图象关于点（2，3）对称，求 的解析式。2yx()ygx ()gx3设函数 的图象为

21、，若函数 的图象 与 关于 x 轴对称，则 的解析式为 .1()fx1C()gx2C1()gx4若函数 满足关系式 fxf32)(，则 的表达式为 .f f5.已知函数 满足 ，则 = 。()fx()4f()fx（五）解析式的识别分段函数：1已知函数 ，其中 nN，f（8）=（ ）3,10()(5)nffA2 B4 C6 D72定义符号函数 ，则不等式： 的解集是 1,0sgn,xsgn2(1)xx2.3.2 值 域 题 型一 常 规 函 数 求 值 域 ： 画 图 像 ， 定 区 间 ， 截 段 。常 规 函 数 有 ： 一 次 函 数 ， 二 次 函 数 ， 反 比 例 函 数 ， 指 数

22、 对 数 函 数 ， 幂 函 数 ， 三 角 函 数 ， 对 号 函 数 。二 非 常 规 函 数 求 值 域 ： 想 法 设 法 变 形 成 常 规 函 数 求 值 域 。解 题 步 骤 ： （ 1） 换 元 变 形 ； （ 2） 求 变 形 完 的 常 规 函 数 的 自 变 量 取 值 范 围 ； （3） 画 图 像 ， 定 区 间 ， 截 段 。三 分 式 函 数 求 值 域 ： 四 种 题 型盛阳教育SHENG YANG EDUCATION 高中部数学学科组10（ 一 ） ： 则 且 。cxdyab(0)cyaR（ 二 ） ： 利 用 反 表 示 法 求 值 域 。 先 反 表 示

23、， 再 利 用 x 的 范 围 解 不 等 式 求 y 的 范 围 。2x（ 三 ） ： ， 则 且 。2361y(1)21()32xxy13且 R（ 四 ） 求 的 值 域 ， 当 时 ， 用 判 别 式 法 求 值 域 。2xR， 值 域21yx2()10yxy2()4(1)0yy四 不 可 变 形 的 杂 函 数 求 值 域 ： 利 用 函 数 的 单 调 性 画 出 函 数 趋 势 图 像 ， 定 区 间 ， 截 段 。判 断 单 调 性 的 方 法 ： 选 择 填 空 题 首 选 复 合 函 数 法 ， 其 次 求 导 数 ； 大 题 首 选 求 导 数 ， 其 次 用 定 义 。

24、详 情 见 单 调 性部 分 知 识 讲 解 。五 原 函 数 反 函 数 对 应 求 值 域 ： 原 函 数 的 定 义 域 等 于 反 函 数 值 域 ， 原 函 数 值 域 等 于 反 函 数 定 义 域 。六 已 知 值 域 求 系 数 ： 利 用 求 值 域 的 前 五 种 方 法 写 求 值 域 的 过程 ， 将 求 出 的 以 字 母 形 式 表 示 的 值 域 与 已 知 值 域 对 照求 字 母 取 值 或 范 围第三部分 值域的求法.（一）常规函数1.求下列函数的值域（1） （2）1yx11,3yyxx2已知函数 在区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是( )32xyA、 1，+） B、0，2 C、 （-，2 D、1 ，23.已知二次函数 满足条件： 且方程 有等根，)0()(2abxf )3()5(xff xf)(（1）求 的解析式；（2）是否存在实数 ，使得 的定义域为 ，值域为x,nm,nm.3,nm