1、1层次分析法建模层次分析法（AHPAnalytic Hierachy process）- 多目标决策方法70 年代由美国运筹学家 TLSatty 提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，採用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律。基本内容
2、：（1）多目标决策问题举例 AHP 建模方法（2）AHP 建模方法基本步骤（3）AHP 建模方法基本算法（3）AHP 建模方法理论算法应用的若干问题。参考书： 1、姜启源，数学模型（第二版，第 9 章；第三版，第 8 章），高等教育出版社2、程理民等， 运筹学模型与方法教程， （第 10 章） ，清华大学出版社3、运筹学编写组 ，运筹学（修 订版），第 11 章，第 7 节，清 华大学出版社一、问题举例：A大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生， “双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如： 能发挥自己的才干为国家作出较好
3、贡献（即工作岗位适合发挥专长） ； 工作收入较好（待遇好） ； 生活环境好（大城市、气候等工作条件等） ； 单位名声好（声誉-Reputation） ； 工作环境好（人际关系和谐等） 发展晋升（promote, promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？工作选择贡献 收入 发展 声誉 工作环境 生活环境2.假期旅游地点选择暑假有 3 个旅游胜地可供选择。例如： ：苏州杭州， 北戴河， 桂林，到底到哪个1P23P地方去旅游最好？要作出决策和选
4、择。为此，要把三个旅游地的特点，例如：景色；费用；居住；环境；旅途条件等作一些比较建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。目标层准则层方案层C资源开发的综合判断7 种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到，决定对哪种资源先开发，效用最用。二、问题分析：例如旅游地选择问题：一般说来，此决策问题可按如下步骤进行：可供选择的单位 P1 P2 - Pn 选择旅游地景色费用居住饮食旅途P1 P2 P3对经济发展、贡献U铜 Co铁In磷酸盐 钿 Ur 铝 Al 金 Go经济价值 开採费 风险费 要求量 战略重要性 交通条件3（S1）将决策解分解为三个层次，即：目标层：（选择
5、旅游地）准则层：（景色、费用、居住、饮食、旅途等 5 个准则）方案层：（有 ， ， 三个选择地点）1P23并用直线连接各层次。（S2）互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重。这些权限重在人的思维过程中常是定性的。例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择；中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择；经济不好的人：会把费用低作为第一选择。而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。（S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。（S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。以上步骤和方法即是 AHP 的决策分析方法。三、确定各层次互相比较的方法成对比较矩阵
6、和权向量在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而 Santy 等人提出：一致矩阵法即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较2. 对此时採用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。因素比较方法 成对比较矩阵法：目的是，要比较某一层 个因素 对上一层因素 O 的影响（例如：旅游决策nnC ,21解中，比较景色等 5 个准则在选择旅游地这个目标中的重要性） 。採用的方法是：每次取两个因素 和 比较其对目标因素 O 的影响，并用 表示，全ij ija部比较的结果用成对比较矩阵表示，即：（1）)1( 1 ,0 ,)( ijij
7、jiijnxij aaaA为由于上述成对比较矩阵有特点： jiijijij aA ,0 ,)(故可称 为正互反矩阵：显然，由 ，即： ，故有：Ajiija11jii 1ji4例如：在旅游决策问题中：= 表示：21a（ 费 用 ）（ 景 色 ）C2O1 21的 重 要 性 为（ 费 用 ） 对 目 标 的 重 要 性 为景 色 ） 对 目 标（C故： ）， 费 用 重 要 性 为即 景 色 重 要 性 为 2(21a= 表示：413a（ 居 住 条 件 ）（ 景 色 ）3 14(31 为为即：景色为 4，居住为 1。= 表示：1723（ 居 住 条 件 ）（ 费 用 ）32C OC7(32 为为
8、即：费用重要性为 7，居住重要性为 1。因此有成对比较矩阵： 135127451A？问题：稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题： 即存在有各元素的不一致性，例如：既然： 4114a ;21 33121 aCCa所以应该有： 84132132a而不应为矩阵 中的A723成对比较矩阵比较的次数要求太 ，因： 个元素比较次数为： 次，n!2)1(nC因此，问题是：如何改造成对比较矩阵，使由其能确定诸因素 对上层因素 On ,1的权重？对此 Saoty 提出了：在成对比较出现不一致情况下，计算各因素 对因素（上层n ,1因素）O 的权重方法，并确定了这种不一致的容许误差范围。为此，先看成对比较矩阵的完
9、全一致性成对比较完全一致性5四：一致性矩阵Def： 设有正互反成对比较矩阵：(4) 1a , 1 , 1n21 2212 1121nn jiij nnWWaaaaa WWA 除满足：（i）正互反性：即 ) (1 0jiijiijij a为而且还满足：（ii）一致性：即/有点点错误n 2,1j i, hkajijijiij则称满足上述条件的正互反对称矩阵 A 为一致性矩阵，简称一致阵。一致性矩阵（一致阵）性质：性质 1： 的秩 Rank(A)=1/显然A的唯一非 0 的特征根为 n性质 2： 的任一列（行）向量都是对应特征根 的特征向量：n即有(特征向量、特征值)：，则向量nnnWA 21221
10、11 3216满足： WnWAnnn 21212121即： 0)(I我的理解:通过 A(变换 A 与 W 中的元素有关) 变换将一致 W 矩阵变成权向量W(特征向量 ),如果正互反矩阵 W接近一致矩阵,同样的道理变换 A 可以将 W变成权向量(这里的权向量与 W稍有不同 )启发与思考：既然一致矩阵有以上性质，即 n 个元素 W1, W2, W3 , Wn 构成的向量 n 21是一致矩阵 A 的特征向量，则可以把向量 W 归一化后的向量 ，看成是诸元素 W1, W2, W3 , Wn目标的权向量，因此，可以用求 A 的特征根和特征向量的办法，求出元素 W1, W2, W3 , Wn 相对于目标
11、O 的劝向量。解释：一致矩阵即： 件物体 ，它们重量分别为 ，将他们两两比较nnM, ,21 n, ,21重量，其比值构成一致矩阵，若用重量向量 右乘 ，则nW 2A7： 称 特 征 根 法 ，求 权 向 量 的 方 法量权 向 量 ， 此 种 用 特 征 向 为即对 上 层 因 素 O的 权 重 ， C， 就 表 示 诸 因 素W 则 归 一 化 后 的 特 征 向 量，： 重 量 向 量 为 特 征 根 的 特 征 向 量 为以 的 特 征 根 为 n21 1W,1 21 i nnA分析：若重量向量 未知时，则可由决策者对物体 之间两两相比关系，nW21 nM, ,21主观作出比值的判断，
12、或用 Delphi（调查法）来确定这些比值，使 矩阵（不一定有一致性）A为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵 ，并且此 （不一致）在不一致的容许范围内，再依据： 的特征根或和特征向量 连续地依赖AW于矩阵的元素 ，即当 离一致性的要求不太远时， 的ijaij A特征根 和特征值（向量） 与一致矩阵 的特征根 和特i WA征向量 也相差不大的道理：由特征向量 求权向量 的W方法即为特征向量法，并由此引出一致性检查的方法。问题：Remark以上讨论的用求特征根来求权向量 的方法和思路，在理论上应解决以下问题：W1 一致阵的性质 1 是说：一致阵的最大特征根为 （即必要条件） ，但用
13、特征根来求特征向量n时，应回答充分条件：即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互反矩阵 的最大特征根 时， 是否为一致阵？AmaxA82 用主观判断矩阵 的特征根 和特征向量 连续逼近一致阵 的特征根 和特征向量AWA时，即： 由 Wklim得到： k即： Ali是否在理论上有依据。3一般情况下，主观判断矩阵 在逼近于一致阵 的过程中，用与 接近的 来代替 ，AA*A即有 ，这种近似的替代一致性矩阵 的作法，就导致了产生的偏差估计问题，即一A*致性检验问题，即要确定一种一致性检验判断指标，由此指标来确定在什么样的允许范围内，主观判断矩阵是可以接受的，否则，要 两两比较构造主
14、观判断矩阵。此问题即一致性检验问题的内容。以上三个问题：前两个问题由数学严格比较可获得（见教材 P325，定理 1、定理 2） 。第 3 个问题：Satty 给出一致性指标（TH1,TH2 介绍如下：）附：Th1：（教材 P326，perronTh 比隆 1970 ）对于正矩阵 （ 的所有元素为正数）A（1） 的最大特征根是正单根 ；A（2） 对应正特征向量 （ 的所有分量为正数）W（3） 其中： 为半径向量， 是对应 的归一化特征向量ekTklim1eW证明：（3）可以通过将 化为标准形证明ATh2： 阶正互反阵 A 的最大特征根 ；nn当 时， 是一致阵五、一致性检验一致性指标：1一致性检
15、验指标的定义和确定 （平均值）的定义：IC当人们对复杂事件的各因素，采用两两比较时，所得到的主观判断矩阵 ，一般不可直接A9保证正互反矩阵 就是一致正互反矩阵 ，因而存在误差（及误差估计问题） 。这种误差，必AA然导致特征值和特征向量之间的误差 。此时就导致问题 与W)(为 WmaxA为问题 之间的差别。 （上述问题中 是主观判断矩阵 的特征值， 是带有偏差nWmax的相对权向量） 。这是由判断矩阵不一致性所引起的。因此，为了避免误差太大，就要衡量主观判断矩阵 的一致性。A因为：当主观判断矩阵 为一致阵 时就有：A为一致阵时有： （aii为对角nknknka111为 A1ia线上的值，按照一致
16、性矩阵的理解，它应该为 1）此时存在唯一的非 nmax（由一致阵性质 1：Rark(4)=1， 有唯一非 O 最大特征根且 ）Anmax当主观判断矩阵 不是一致矩阵时，此时一般有： （Th2）ax此时，应有：（不大理解） nikhmaxmax即： aaxkn所以，可以取其平均值作为检验主观判断矩阵的准则，一致性的指标，即： 1maxmaxnICk显然：（1） 当 时，有： ， 为完全一致性max0ICA（2） 值越大，主观判断矩阵 的完全一致性越差，即： 偏离 越远( 用特征向I A量作为权向量引起的误差越大)（3） 一般 ，认为主观判断矩阵 的一致性可以接受，否则应重新进行两两10I A比较
17、，构造主观判断矩阵。102随机一致性检验指标 IR问题：实际操作时发现：主观判断矩阵 的维数越大，判断的一致性越差，故应放宽对高维矩A阵的一致性要求。于是引入修正值 来校正一致性检验指标：即定义 的修正值I IR表为：并定义新的一致性检验指标为： IRC随机一致性检验指标 的解释：I为确定 的不一致程度的容许范围，需要确定衡量 的一致性指示 的标准。于是 SattyAAIC又引入所谓随机一致性指标 ，其定义和计算过程为： 对固定的 ，随机构造正互反阵 ，其元素 从 19 和 1 中随机取值，n)(jiaj且满足 与 的互反性，即： ，且 .ijaji jiij1i 然后再计算 的一致性指标 ，
18、因此 是非常不一致的，此时， 值相当大.AICAIC 如此构造相当多的 ，再用它们的 平均值作为随机一致性指标。 Satty 对于不同的 11) ，用 100500 个样本 计算出上表所列出的随机一致性1(n指标 作为修正值表。IR3. 一致性检验指标的定义一致性比率 。RC由随机性检验指标 可知：RC当 时， ，这是因为 1, 2 阶正互反阵总是一致阵。2 ,1n0I对于 的成对比较阵 ，将它的一致性指标 与同阶（指 相同）的随机一致性指3AIn标 之比称为一致性比率简称一致性指标，IR即有： 一致性检验指标的定义 一致性比率定义： ： IC IRC当： 时，认为主观判断矩阵 的不一致程度在容许范围之内，10A可用其特征向量作为权向量。否则，对主观判断矩阵 重新进行成对比较，构重新的主观判断矩阵 。A的维数A1 2 3 4 5 6 7 8 9IR0.00 0.00 0.58 0.96 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
