1、第九章 几何学的变革几何学的变革希尔伯特说： “ 19世纪最富有启发性和最值得注意的成就是非欧几里得几何的发现。 ” 直到 18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。9.1 欧几里得平行公设 许多学者都视欧几里得几何为绝对真理。然而，这种近乎科学 “圣经 ”的几何学并非无懈可击。事实上，从公元前 3世纪到 18世纪末，数学家们始终没有放弃对欧几里得第五公设的疑惑。 为澄清这种疑惑，一代代数学家想尽了方法，
2、然而他们所给 “证明 ”要么隐含着等价的命题假定，要么存在着形式的推理错误。而且，这类工作中的大多数在数学思想上显得毫无意义。 欧氏几何公理：欧氏几何公理：（ 1）等于同量的量彼此相等；）等于同量的量彼此相等；（ 2）等量加等量，和相等；）等量加等量，和相等；（ 3）等量减等量，差相等；）等量减等量，差相等；（ 4）彼此重合的图形是全等的；）彼此重合的图形是全等的；（ 5）整体大于部分。）整体大于部分。在 几何原本 ，称对所有学科都成立的不证自明的结论为公理，而仅在几何上成立的不证自明的结论称为公设。欧氏几何公设：（ 1）假定从任意一点到任意一点可作一直线；（ 2）一条有限直线可不断延长；（ 3）以任意中心和半径可以画圆；（ 4）凡直角都彼此相等；（ 5）若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。 替代公设：存在一对同平面的直线彼此处处等距离；过已知直线外的已知点只能作一条直线平行于已知直线 (苏格兰数学家普雷菲尔于 1795年提出）；存在一对相似但不全等的三角形；过任何三个不在同一直线上的点可作一个圆；替代公设：如果一个四边形有一对对边相等，并且它们与第三边构成的角均为直角，则余下的两个角也是直角；如果四边形有三个角是直角，则第四个角也是直角；至少存在一个三角形，其三角和等于二直角；三角形的面积无上限。
