1、九年级二次函数培优竞赛试题及答案1在如图的直角坐标系中，已知点 A(2,0)、B(0，4)，将线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 90至 AC(1)求点 C 的坐标；(2)若抛物线 y x2ax4 经过点 C14求抛物线的解析式；在抛物线上是否存在点 P(点 C 除外)使ABP 是以 AB 为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由2如图 1，已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴交于另一个点 C，对称轴与直线 AB 交于点 E，抛物线顶点为 D（1）求抛物线的解析式
2、；（2）在第三象限内，F 为抛物线上一点，以 A、E、F 为顶点的三角形面积为3，求点 F 的坐标；（3）点 P 从点 D 出发，沿对称轴向下以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为 t 秒，当 t 为何值时，以 P、B、C 为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的 t 值1.【解析】试题分析：（1）过点 C 作 CD 垂直于 x 轴，由线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转90至 AC，根据旋转的旋转得到 AB=AC，且BAC 为直角，可得OAB 与CAD互余，由AOB 为直角，可得OAB 与ABO 互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用 AS
3、A 可证明三角形 ACD 与三角形 AOB 全等，根据全等三角形的对应边相等可得 AD=OB，CD=OA，由 A 和 B 的坐标及位置特点求出 OA 及 OB 的长，可得出 OD 及 CD 的长，根据 C 在第四象限得出 C 的坐标；（2）由已知的抛物线经过点 C，把第一问求出 C 的坐标代入抛物线解析式，列出关于 a 的方程，求出方程的解得到 a 的值，确定出抛物线的解析式；假设存在点 P 使ABP 是以 AB 为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑：（i）A 为直角顶点，过 A 作 AP1垂直于 AB，且 AP1=AB，过 P1作 P1M 垂直于 x 轴，如图所示，根据一对对顶角相等，一
4、对直角相等，AB=AP 1，利用 AAS 可证明三角形 AP1M 与三角形 ACD 全等，得出 AP1与 P1M 的长，再由 P1为第二象限的点，得出此时 P1的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii）当 B 为直角顶点，过 B 作 BP2垂直于 BA，且 BP2=BA，过 P2作 P2N 垂直于 y 轴，如图所示，同理证明三角形 BP2N 与三角形 AOB 全等，得出 P2N 与 BN 的长，由 P2为第三象限的点，写出 P2的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii）当 B 为直角顶点，过B 作 BP3垂直于 BA，且 BP3=BA，如图所示，过 P3作 P3H 垂直于 y 轴，同理可
5、证明三角形 P3BH 全等于三角形 AOB，可得出 P3H 与 BH 的长，由 P3为第四象限的点，写出 P3的坐标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的 P 的坐标试题解析：（1）过 C 作 CDx 轴，垂足为 D，BAAC，OAB+CAD=90，又AOB=90，OAB+OBA=90，CAD=OBA，又 AB=AC，AOB=ADC=90，AOBCDA，又 A（1，0） ，B（0，2） ，OA=CD=1，OB=AD=2，OD=OA+AD=3，又 C 为第四象限的点，C 的坐标为（3，1） ；（2）抛物线 y= x2+ax+2 经过点 C，且 C（3，1） ，把 C 的坐标代入
6、得：1= +3a+2，解得：a= ，912则抛物线的解析式为 y= x2+ x+2；1存在点 P，ABP 是以 AB 为直角边的等腰直角三角形，（i）若以 AB 为直角边，点 A 为直角顶点，则延长 CA 至点 P1使得 P1A=CA，得到等腰直角三角形 ABP1，过点 P1作 P1Mx 轴，如图所示，AP 1=CA，MAP 1=CAD，P 1MA=CDA=90，AMP 1ADC，AM=AD=2，P 1M=CD=1，P 1（1，1） ，经检验点 P1在抛物线 y= x2+ x+2 上；1（ii）若以 AB 为直角边，点 B 为直角顶点，则过点 B 作 BP2BA，且使得BP2=AB，得到等腰直
7、角三角形 ABP2，过点 P2作 P2Ny 轴，如图，同理可证BP 2NABO，NP 2=OB=2，BN=OA=1，P 2（2，1） ，经检验 P2（2，1）也在抛物线 y= x2+ x+2 上；1（iii）若以 AB 为直角边，点 B 为直角顶点，则过点 B 作 BP3BA，且使得BP3=AB，得到等腰直角三角形 ABP3，过点 P3作 P3Hy 轴，如图，同理可证BP 3HBAO，HP 3=OB=2，BH=OA=1，P 3（2，3） ，经检验 P3（2，3）不在抛物线 y= x2+ x+2 上；1则符合条件的点有 P1（1，1） ，P 2（2，1）两点考点：1.二次函数综合题 2.点的坐标
8、 3.等腰直角三角形2.【答案】 （1）y=-x 2-2x+3；（2） （ ， ） （3）当 t 为321秒或 2 秒或 3 秒或 秒时，以 P、B、C 为顶点的三角形是直角三角形434【解析】试题分析：（1）先由直线 AB 的解析式为 y=x+3，求出它与 x 轴的交点 A、与 y轴的交点 B 的坐标，再将 A、B 两点的坐标代入 y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设第三象限内的点 F 的坐标为（m，-m 2-2m+3） ，运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点 D 的坐标，再设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 G，连接 FG，根据SAEF =SAEG +SAFG
9、-SEFG =3，列出关于 m 的方程，解方程求出 m 的值，进而得出点 F 的坐标；（3）设 P 点坐标为（-1，n） 先由 B、C 两点坐标，运用勾股定理求出BC2=10，再分三种情况进行讨论：PBC=90，先由勾股定理得出PB2+BC2=PC2，据此列出关于 n 的方程，求出 n 的值，再计算出 PD 的长度，然后根据时间=路程速度，即可求出此时对应的 t 值；BPC=90，同可求出对应的 t 值；BCP=90，同可求出对应的 t 值试题解析：（1）y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，当 y=0 时，x=-3，即 A 点坐标为（-3，0） ，当 x=0 时，y=3，即
10、 B 点坐标为（0，3） ，将 A（-3，0） ，B（0，3）代入 y=-x2+bx+c，得， 解得 ，9cbbc抛物线的解析式为 y=-x2-2x+3；（2）如图 1，设第三象限内的点 F 的坐标为（m，-m 2-2m+3） ，则 m0，-m 2-2m+30y=-x 2-2x+3=-（x+1） 2+4，对称轴为直线 x=-1，顶点 D 的坐标为（-1，4） ，设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 G，连接 FG，则 G（-1，0） ，AG=2直线 AB 的解析式为 y=x+3，当 x=-1 时，y=-1+3=2，E 点坐标为（-1，2） S AEF =SAEG +SAFG -SEFG = 22+
11、 2（m 2+2m-3）- 2（-1-m）121=m2+3m，以 A、E、F 为顶点的三角形面积为 3 时，m 2+3m=3，解得： ， （舍去） ，132m21当 时，-m 2-2m+3=-m2-3m+m+3=-3+m+3=m= ，点 F 的坐标321为（ ， ） ；312（3）设 P 点坐标为（-1，n） B（0，3） ，C（1，0） ，BC 2=12+32=10分三种情况：如图 2，如果PBC=90，那么 PB2+BC2=PC2，即（0+1） 2+（n-3） 2+10=（1+1） 2+（n-0） 2，化简整理得 6n=16，解得 n= ，83P 点坐标为（-1， ） ，顶点 D 的坐标为
12、（-1，4） ，PD=4- = ，83点 P 的速度为每秒 1 个单位长度，t 1= ；如图 3，如果BPC=90，那么 PB2+PC2=BC2，即（0+1） 2+（n-3） 2+（1+1） 2+（n-0） 2=10，化简整理得 n2-3n+2=0，解得 n=2 或 1，P 点坐标为（-1，2）或（-1，1） ，顶点 D 的坐标为（-1，4） ，PD=4-2=2 或 PD=4-1=3，点 P 的速度为每秒 1 个单位长度，t 2=2，t 3=3；如图 4，如果BCP=90，那么 BC2+PC2=PB2，即 10+（1+1） 2+（n-0） 2=（0+1） 2+（n-3） 2，化简整理得 6n=-4，解得 n=- ，3P 点坐标为（-1，- ） ，顶点 D 的坐标为（-1，4） ，PD=4+ = ，231点 P 的速度为每秒 1 个单位长度，t 4= ；综上可知，当 t 为 秒或 2 秒或 3 秒或 秒时，以 P、B、C 为顶点的三角形是4314直角三角形
