1、飞行器结构力学基础 电子教学教案西北工业大学航空学院航空结构工程系第五章 位移法Displacement Method ofStructure Analysis第一讲位移法概述杆元素与桁架的位移法求解5.1 位移法概述以 结点位移 (广义位移 )作为基本未知量 ，写出由未知位移表示的应变，由物理方程写出仍由未知位移表示的应力表达式，最后由平衡条件解出所有的未知位移，这就是 位移法 的基本思路。 在计算机科学飞速发展的今天，适合于计算机应用的 “有限元素法 ”正在逐步取代其他方法而成为飞行器结构分析方法的主流，并已发展为一门独立的新兴学科。本章所讨论的位移法，是以矩阵运算作为数学工具来处理结构位
2、移计算的，故也称为 矩阵位移法 ，它是有限元素法的基础。 矩阵位移法 主要内容包括两个部分：(1)单元分析 ，即将结构分解为有限个较小的单元，进行所谓离散化。对于杆系结构，一般以一根杆件或杆件的一段作为一个单元，分析单元的内力与位移之间的关系，建立单元刚度矩阵。(2)整体分析 ，即将各单元又集合成原来的结构，要求各单元满足原结构的变形协调条件和平衡条件，从而建立整个结构的刚度方程，以求解原结构的位移和内力。在杆系结构中，若单元只受轴力作用，则称为 杆元素 ，如桁架；若单元不仅受轴力，还受剪力和弯矩作用，则称为 梁元素 ，如梁、刚架等。由于 杆元素 和 梁元素 是最简单的元素，对这两个元素的分析
3、，既有鲜明的物理意义，又能反映位移法的实质。所以，本章主要对 杆元素 和 梁元素 进行分析，并用于桁架和刚架的位移法求解。5.2 杆元素与桁架位移法求解本节将由最简单的杆元素和桁架开始，逐步介绍矩阵位移法的基本原理和计算过程 。5.2 杆元素与桁架位移法求解对于图示桁架，编号为1、 2、 3、 4、 5、 6的铰结点称为 结点 ，两结点之间的链杆称为 杆元素 ， 如杆元素 12、杆元素 23等。 位移法中，将以每个结点处的位移（ 结点位移 ）作为基本未知量，建立关于未知结点位移的方程，首先求出结点位移，然后利用求出的结点位移，再求出其他的物理量（如元素应变、应力、内力等）。在图示坐标系中，由于
4、每一杆元素的方位不尽相同，为具普遍性，任取其中一杆元素 i j，首先来研究杆元素的平衡关系。5.2 杆元素与桁架位移法求解一、杆元素的平衡方程及刚度矩阵定义：为杆元素在局部坐标系下的 结点位移列阵 和 结点力列阵 。 杆元素结点上的结点位移分别记为 和 ，与结点位移相对应的结点力分别记为 和 ，结点位移和结点力一律以顺坐标系的正方向为正。如图所示的杆元素 i j ，建立元素局部坐标系 ， 轴沿杆元素的轴线由 i 结点指向 j 结点，杆长为 Lij 。5.2 杆元素与桁架位移法求解关键：将杆元素的其他物理量（如元素内位移、应变、应力、结点力，应变能等）用结点位移表示。（ 1）元素内位移元素内各点的位移叫做 内位移 。杆元素的内位移可用结点位移通过线性插值得到：式中， Ni (x)、 Nj (x) 称为 位移形状函数 ；N(x) 称为元素的 位移形状函数矩阵 。对于杆元素，其位移形状函数具有如图所示的形状：式中， B称为 元素的几何矩阵 。（ 2）变形协调条件与几何矩阵利用变形协调条件，求元素应变，并用节点位移表示：
