曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性二、曲线的拐点及其求法一、曲线的凹凸性问题: 如何研究曲线的弯曲方向?凹（上凹）凸（下凹）定义 如果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的下方，则称此曲线在该区间内是凹的（或称上凹）； 如果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在该区间内是凸的（或称下凹）.x1x2xyo12凹（上凹）凸（下凹）xyo12x2x1定理2.12例1解例2例2解注意到,例3例3解 定义： 连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。说明： 拐点是曲线凹凸的转折点，那么曲线的二阶导数 f (x) 由大于零变成小于零，或由小于零变成大于零，这时拐点上的二阶导数 f (x) 一定等于零或者不存在.的凹凸性.例4. 判断函数解:故曲线 在上是凹的.说明: 若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变.判定曲线 y=f(x) 的凹凸及拐点的步骤：1、确定函数的定义域；2、求出函数的二阶导函数 f (x)；并求出二阶导数值为零的点及二阶导数不存在的点；3、由上述特殊点把所讨论的区间分成几个子区间，在各个子区间及分界点处，根据定理结论来判断函数的凹凸性及拐点，
