1、第 1 页（共 13 页）二次函数综合题 等腰三角形一解答题（共 30 小题）1 （2014新余模拟）如图，已知二次函数图象的顶点为（1，3） ，并经过点 C（2，0） （1）求该二次函数的解析式；（2）直线 y=3x 与该二次函数的图象交于点 B（非原点） ，求点 B 的坐标和AOB 的面积；（3）点 Q 在 x 轴上运动，求出所有 AOQ 是等腰三角形的点 Q 的坐标2 （2014 秋怀宁县校级月考）如图，二次函数 y=x2+mx+3 的图象与 y 轴交于点 A，与 x轴的负半轴交于点 B，且AOB 的面积为 6（1）求该二次函数的表达式；（2）如果点 P 在 x 轴上，且ABP 是等腰三
2、角形，请直接写出点 P 的坐标3 （2011淮安）如图已知二次函数 y=x2+bx+3 的图象与 x 轴的一个交点为 A（4，0） ，与 y 轴交于点 B（1）求此二次函数关系式和点 B 的坐标；（2）在 x 轴的正半轴上是否存在点 P使得PAB 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 2 页（共 13 页）4 （2014曲靖模拟）如图，已知二次函数 y=ax24x+c 的图象与坐标轴交于点 A（1，0）和点 C（0，5 ） （1）求该二次函数的解析式和它与 x 轴的另一个交点 B 的坐标（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点 P（2，2 ） ，
3、连接 OP，找出 x 轴上所有点M 的坐标，使得OPM 是等腰三角形5 （2008 秋密云县期末）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象分别经过点（0，3） （3，0）（2 ， 5） ，（1）求这个二次函数的解析式；（2）若这个二次函数的图象与 x 轴交于点 C、D（C 点在点 D 的左侧） ，且点 A 是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点 B，使ABC 是等腰三角形，求出点 B 的坐标6 （2008海淀区二模）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象分别经过点（0，3） ， （3，0） ，（2 ， 5） 求：（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的最值；（3）
4、若设这个二次函数图象与 x 轴交于点 C，D（点 C 在点 D 的左侧） ，且点 A 是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点 B，使ACB 是等腰三角形，求出点 B 的坐标第 3 页（共 13 页）7 （2006松江区二模）如图，已知二次函数 y=x2+bx+c（c0）的图象经过点 A（2，m）（m0） ，与 y 轴交于点 B，ABx 轴，且 3AB=2OB（1）求 m 的值；（2）求二次函数的解析式；（3）如果二次函数的图象与 x 轴交于 C、D 两点（点 C 在左恻） 问线段 BC 上是否存在点 P，使POC 为等腰三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由8
5、 （2010 秋永新县校级月考）已知二次函数 y=（x1） （x 4）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C（1）求出 A、B、C 三点的坐标；（2）求ABC 的面积；（3）在 y 轴上是否存在点 P，使 P、A、C 能组成以 AC 为腰的等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由9 （2013德宏州）如图，已知直线 y=x 与抛物线 交于 A、B 两点（1）求交点 A、B 的坐标；（2）记一次函数 y=x 的函数值为 y1，二次函数 的函数值为 y2若 y1y 2，求 x 的取值范围；（3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与 AB
6、构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于 3 个满足条件的点 P 的坐标10 （2014曲阜市模拟）设二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的两个交点A（x 1，0） ，B（x 2，0） ，抛物线的顶点为 C，显然 ABC 为等腰三角形（1）当ABC 为等腰直角三角形时，求 b24ac 的值；第 4 页（共 13 页）（2）当ABC 为等边三角形时，求 b24ac 的值11 （2015赤峰）已知二次函数 y=ax2+bx3a 经过点 A（1，0） 、C （0，3） ，与 x 轴交于另一点 B，抛物线的顶点为 D（1）求此二次函数解析式；（2）连接 DC、BC、DB，求证： BCD
7、 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由12 （2013 秋 本溪期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴相交于点 A（4，0） ，与 y 轴相交于点 B（0，4） ，动点 C 是从点 A 出发，向 O 点运动，到达 0 点时停止运动，过点 C 作 ECx 轴，交直线 AB 于点 D，交抛物线于点 E（1）求二次函数的解析式；（2）连接 OE 交 AB 于 F 点，连接 AE，在动点 C 的运动过程中，若AOF 的面积是AEF 面积的 2 倍，
8、求点 C 的坐标？（3）在动点 C 的运动过程中， DEF 能否为等腰三角形？若能，请直接写出点 F 的坐标；若不能，请说明理由第 5 页（共 13 页）13 （2011临川区模拟）如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过三点 A（1，0） ，B（3，0） ，C （0， 3） ，它的顶点为 M，且正比例函数 y=kx 的图象与二次函数的图象相交于 D、E 两点（1）求该二次函数的解析式和顶点 M 的坐标；（2）若点 E 的坐标是（2，3） ，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量 x 的取值范围；（3）试探究：抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PAC
9、 为等腰三角形？如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由14 （2006孝感）如图，已知二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴只有一个公共点 M，与y 轴的交点为 A，过点 A 的直线 y=x+c 与 x 轴交于点 N，与这个二次函数的图象交于点B（1）求点 A、B 的坐标（用含 b、c 的式子表示） ；（2）当 SBMN=4SAMN 时，求二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点 P 为 x 轴上的一个动点，那么是否存在这样的点 P，使得以P、A、M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出符合条件的所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 6 页（共
10、13 页）15 （2011东营模拟）如图，已知二次函数 y=x2+bx+c（ c0）的图象与 x 轴交于 A、B两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，且 OB=OC=3，顶点为 M（1）求二次函数的解析式；（2）点 P 为线段 BM 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线 PQ，垂足为 Q，若 OQ=m，四边形 ACPQ 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数解析式，并写出 m 的取值范围；（3）探索：线段 BM 上是否存在点 N，使 NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点 N 的坐标；如果不存在，请说明理由16 （2010徐州）如图，已知二次函数 y= 的图象与 y 轴
11、交于点 A，与 x 轴交于 B、C 两点，其对称轴与 x 轴交于点 D，连接 AC（1）点 A 的坐标为 ，点 C 的坐标为 ；（2）线段 AC 上是否存在点 E，使得EDC 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 P 为 x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接 PA、PC ，若所得PAC 的面积为 S，则 S 取何值时，相应的点 P 有且只有 2 个？第 7 页（共 13 页）17 （2011呼伦贝尔）如图，已知二次函数 y=ax2+bx+3 的图象与 x 轴相交于点 A、C，与y 轴相交于点 B，A（ ） ，且AOB BOC（1）求 C 点坐标
12、、ABC 的度数及二次函数 y=ax2+bx+3 的关系式；（2）在线段 AC 上是否存在点 M（m ，0） 使得以线段 BM 为直径的圆与边 BC 交于 P 点（与点 B 不同） ，且以点 P、C 、O 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由18 （2013廊坊一模）如图，二次函数 y=ax2+x+c 的图象与 x 轴交于点 A、B 两点，且 A点坐标为（2， 0） ，与 y 轴交于点 C（0，3） （1）求出这个二次函数的解析式；（2）直接写出点 B 的坐标为 ；（3）在 x 轴是否存在一点 P，使ACP 是等腰三角形？若存在，求出满足条件的 P 点坐标；
13、若不存在，请说明理由；（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点 Q，使得四边形 ABQC 的面积最大？若存在，请求出 Q 点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由19 （2012景宁县模拟）已知二次函数 y=x2+4x+5 图象交 x 轴于点 A、B ，交 y 轴于点C，点 D 是该函数图象上一点，且点 D 的横坐标为 4，连 BD，点 P 是 AB 上一动点（不与点 A 重合） ，过 P 作 PQAB 交射线 AD 于点 Q，以 PQ 为一边在 PQ 的右侧作正方形PQMN设点 P 的坐标为（t，0） （1）求点 B，C，D 的坐标及射线 AD 的解析式；（2）在 AB 上是否存在点 P，
14、使OCM 为等腰三角形？若存在，求正方形 PQMN 的边长；若不存在，请说明理由；（3）设正方形 PQMN 与ABD 重叠部分面积为 s，求 s 与 t 的函数关系式第 8 页（共 13 页）20 （2013徐州）如图，二次函数 y= x2+bx 的图象与 x 轴交于点 A（3，0）和点 B，以AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 DP，过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点 E（1）请直接写出点 D 的坐标： ；（2）当点 P 在线段 AO（点 P 不与 A、O 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点
15、 P，使PED 是等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标及此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积；若不存在，请说明理由21 （2013鞍山一模）如图，已知二次函数 y=ax2+bx+8（a0）的图象与 x 轴交与 A，B两点，与 y 轴交与点 C，已知点 A 的坐标为（2，0） ，sin ABC= ，点 D 是抛物线的顶点，直线 DC 交 x 轴于点 E（1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；（2）在直线 CD 上是否存在一点 Q，使以 B，C，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 P 是直线 y=2x4 上一点，过点
16、P 作直线 PM 垂直于直线 CD，垂足为 M，若MPO=75，求出点 P 的坐标第 9 页（共 13 页）22 （2013菏泽）如图，三角形 ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，点 A、C 分别是一次函数 y= x+3 的图象与 y 轴、x 轴的交点，点 B 在二次函数 的图象上，且该二次函数图象上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形（1）试求 b，c 的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点 P 从 A 到 D，同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动，问：当 P 运动到何处时，有 PQAC？当 P 运动到何处时，四边形 PDCQ 的面积最小？此时四边
17、形 PDCQ 的面积是多少？23 （2014北塘区二模）已知二次函数 y=mx25mx+1（m 为常数，m0） ，设该函数图象与 y 轴交于点 A，图象上一点 B 与点 A 关于该函数图象的对称轴对称（1）求点 A、B 的坐标；（2）点 O 为坐标原点，点 M 为函数图象的对称轴上一动点，求当 M 运动到何处时MAO 的周长最小；（3）若该函数图象上存在点 P 与点 A、B 构成一个等腰三角形，且PAB 的面积为 10，求 m 的值24 （2015黔东南州）如图，已知二次函数 y1=x2+ x+c 的图象与 x 轴的一个交点为A（4，0） ，与 y 轴的交点为 B，过 A、B 的直线为 y2=
18、kx+b（1）求二次函数 y1 的解析式及点 B 的坐标；（2）由图象写出满足 y1y 2 的自变量 x 的取值范围；第 10 页（共 13 页）（3）在两坐标轴上是否存在点 P，使得ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 的坐标；若不存在，说明理由25 （2015曲靖一模）如图，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，已知二次函数的图象经过点 B、C 和点 A（ 1，0） （1）求 B、C 两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与 x 轴的交点为点 D，则在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？
19、如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标26 （2014怀集县二模）如图， ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，点 A、C 分别是一次函数 y= x+3 的图象与 y 轴、x 轴的交点，点 B 在二次函数 y= x2+bx+c 的图象上，且该二次函数图象上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形（1）试求点 B、D 的坐标，并求出该二次函数的解析式；（2）P、Q 分别是线段 AD、 CA 上的动点，点 P 从 A 开始向 D 运动，同时点 Q 从 C 开始向 A 运动，它们运动的速度都是每秒 1 个单位，求：当 P 运动到何处时，APQ 是直角三角形？当 P 运动到何处时，四边形 PDCQ 的面积最小？此时四边形 PDCQ 的面积是多少？
